Eingeschränkte monotone 3CNF-Formel: Zählen zufriedenstellender Zuordnungen (sowohl Modulo

Betrachten Sie eine monotone 3CNF-Formel mit den folgenden zusätzlichen Einschränkungen:

Jede Variable erscheint in genau Klauseln. $2$
Bei beliebigen Klauseln teilen sie höchstens Variable. $2$ $1$

Ich würde gerne wissen, wie schwer es ist, die zufriedenstellenden Aufgaben einer solchen Formel zu zählen.

Update 06/04/2013 12:55

Ich würde auch gerne wissen, wie schwer es ist, die Parität der Anzahl zufriedenstellender Aufgaben zu bestimmen.

Update 11/04/2013 22:40

Was ist, wenn wir zusätzlich zu den oben beschriebenen Einschränkungen auch die folgenden Einschränkungen einführen:

Die Formel ist planar.
Die Formel ist zweiteilig.

Update 16/04/2013 23:00

$3$ $\#P$ $\oplus P$ -hard auch nicht.

Update 09/06/2013 07:38

$\oplus P$

cc.complexity-theory sat counting-complexity

— Giorgio Camerani
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Ich finde es interessanter, wenn Sie es auf Literale anstatt auf Variablen beschränken.

— Tayfun Pay

@Tayfun Da die Formel monoton ist, sind diese äquivalent.

— Tyson Williams

@TysonWilliams Danke Ich sollte nichts kommentieren, wenn ich müde bin.

— Tayfun Pay

# P

$\#P$

@ Downvoter: Warum?

— Giorgio Camerani

Antworten:

In jedem Diagramm ist die Parität der Anzahl der Scheitelpunktabdeckungen gleich der Parität der Anzahl der Kantenabdeckungen.

$|C|$ $\Delta_{|V|} = O_{|V|} - E_{|V|}$ $O_{|V|} + E_{|V|}$

$\oplus$ $\oplus$

Zumindest die zweite Hälfte der Frage ist geklärt.

— Giorgio Camerani
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Ihr Problem ist wahrscheinlich # P-vollständig, obwohl ich es in der Literatur nicht finden konnte.

Eine andere Möglichkeit, Ihr Problem zu benennen, ist "# 3-Regular-Edge-Cover". Konstruieren Sie anhand einer Formel ein Diagramm, in dem jede Klausel einem Scheitelpunkt und jede Variable einer Kante entspricht. Da die Formel ein 3CNF ist, ist der Graph 3-regulär (oder hat je nach Definition den maximalen Grad 3). Darüber hinaus ist die Grafik einfach. Eine zufriedenstellende Aufgabe entspricht einer Kantenabdeckung.

Hier sind einige verwandte Probleme:

# 1-Ex3MonoSat ist # P-vollständig . Dies ist dasselbe wie Ihr Problem, nur eine zufriedenstellende Lösung muss genau eine Variable in jeder Klausel erfüllen.
Das Zählen der Anzahl der Scheitelpunktabdeckungen in 3 regulären planaren Graphen ist # P-vollständig .
Es gibt ein FPRAS für die Abdeckung mit der regulären Kante Nr. 3 . Dies legt nahe, dass die Autoren glauben, dass das Problem schwierig ist.

— Yuval Filmus
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Ich sehe nicht, wie sein # beschränkter Monotone3CNF dasselbe ist wie der # 1-Ex3MonoSAT. Vergiss nicht, dass das spätere Problem genau ein Literal erfüllen soll. Er möchte monotone 3 CNF-Formeln, so dass jede Variable in genau zwei Klauseln erscheint und jede Klausel höchstens eine Variable teilt. In # 1-Ex3MonoSAT gibt es keine solche Einschränkung.

— Tayfun Pay

Ich habe versucht, diesen Unterschied mit dem Wort "nur" zu vermitteln, aber ich stimme zu, dass dies nicht die bestmögliche Wortwahl ist.

— Yuval Filmus