Über Inverse 3-SAT

Kontext : Kavvadias und Sideri haben gezeigt, dass das inverse 3-SAT-Problem coNP Complete ist: Gibt es bei einer Reihe von Modellen für n Variablen eine 3-CNF-Formel, bei der ϕ die genaue Menge von Modellen ist? Es entsteht eine unmittelbare Kandidatenformel, die die Konjunktion aller 3-Klauseln ist, die von allen Modellen in ϕ erfüllt werden .$\phi$$n$$\phi$$\phi$

Da es alle implizierten 3-Klauseln enthält, kann diese Kandidatenformel leicht in eine äquivalente Formel die unter Auflösung 3-geschlossen ist. - Die 3-Schließung einer Formel ist die Teilmenge ihres Abschlusses unter Auflösung, die nur Klauseln von enthält Größe 3 oder weniger. Eine CNF-Formel wird unter Auflösung geschlossen, wenn alle möglichen Auflösungen durch eine Klausel der Formel subsumiert werden - eine Klausel c 1 wird durch eine Klausel c 2 subsumiert, wenn alle Literale von c 2 in c 1 sind .$F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

Bei ist eine teilweise Zuordnung der Variablen so, dass I keine Teilmenge eines Modells von ϕ ist .$I$$I$$\phi$

Rufen Sie , die induzierte Formel durch Anwenden von I auf F ϕ : Jede Klausel, die ein Literal enthält, das unter I als t r u e ausgewertet wird, wird aus der Formel gelöscht, und alle Literale, die unter I als f a l s e ausgewertet werden, werden aus allen Klauseln gelöscht .$F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

Rufen Sie , die Formel, die von F ϕ | abgeleitet ist Ich durch alle möglichen 3-begrenzten Auflösungen (in denen das Resolvent und die Operanden höchstens 3 Literale haben) und Subsumptionen.$G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

Frage : Ist 3-geschlossen unter Auflösung?$G_{\phi|I}$

Antwort: Ja (auch wenn eine Teilmenge eines Modells von ϕ bin )$I$$\phi$

Sei die Menge von Klauseln , die aus ableiten F & phgr; ∪ F & phgr; | Ich durch alle möglichen 3 begrenzte Auflösungen und Subsumptionen ( R | I ist die 3-begrenzte Schließung von F & phgr; ∪ F & phgr; | I ). Wenn c eine durch F ϕ implizierte Klausel gegeben ist , existiert mindestens eine Teilmenge von R | Ich, dessen Klauseln implizieren c . Nennen Sie R c eine solche Teilmenge.$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

Sei die folgende Eigenschaft: Für alle c, die durch F ϕ impliziert werden, so dass | c | Ich | ≤ 3 ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

so, dass | R c | ≤ k ⇒ c | Ich werde durch eine Klausel ∈ G ϕ | subsumiert Ich$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

Hier beginnt die Wiederholung. Gegeben impliziert durch F ϕ, so dass | c | Ich | ≤ 3 , dh c | I ∈ der 3-Verschluss von F ϕ | Ich .$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. . Wenn ∃ R c ⊆ R | Ich / | R c | = 1 dann R c = { d } ( d ∈ F & phiv; ∪ F & phiv; | I subsumiert c ) und c | Ich werde von d | subsumiert I ∈ F ϕ | I (beachte, dass jede Klausel von F ϕ |$k=1$$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$wird durch eine Klausel von subsumiert I ). Also P ( 1 ) .$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. Angenommen, für k ≥ 1 . Wenn ∃ R c ⊆ R | Ich so, dass | R c | ≤ k + 1 (und kein anderes R c der Größe 1, so dass c ∉ F ϕ und | c | > 3 ), dann nehme c = ( α β γ L I ) an, wobei α , β $P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$ sind Literale nicht gesetzt durch I und L I ist alles eine Teilmenge von Literalen auf 0 unter bewerten I ( L I & ne; ∅ ) , dh c | I = ( α β γ ) , mit α , β , γ nicht notwendigerweise unterschiedlich. $\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. Entfernen Sie eine Klausel aus R c, so dass | d i | Ich | < | d i | ≤ 3 , mit anderen Worten, derart , daß d i enthält einige Literal aus L I (es gibt mindestens eine solche Klausel in R c , da L I & ne; ∅ ) und | d i | Ich | ≤ 2 .$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. Die Größe der verbleibenden Menge ist ≤ k . Wenn eine bestimmte Klausel c ' = ( α & bgr ; & ggr; L ' I ) durch R c ∖ d i impliziert wird (wobei L ' I eine Teilmenge von Literalen ist, die alle unter I mit 0 bewertet werden ), dann | c ' | Ich | = 3 und ∃ R c ' = R c ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$ so, dass | R c ' | ≤k. DurchP(k)ist c ' | I =(& agr;& bgr;& ggr;)wird dann durch eine Klausel subsumiert∈ G & phgr; | I , Induzieren vonP(k+1)fürc.$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. Wenn enthält ˉ α oder ˉ β oder ˉ γ, dann d i | Ich bin nutzlos zu implizieren [eine Klausel subsumiert] c . Dann impliziert R c ∖ d i c und induziert P ( k + 1 ) wie zuvor gezeigt.$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. Wenn fasse c | zusammen I dann ist P ( k + 1 ) für c erfüllt .$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. Wenn fasse c | nicht zusammen I und enthält nicht ˉ α oder ˉ β oder ˉ γ, dann entweder d i | I = ( x ) oder d i | I = ( a x ) oder d i | I = ( x y ) , wobei x und y ∉ { α β $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ und werden nicht durch I und a ∈ { α β γ } gesetzt .$\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • Wenn dann impliziert R c ∖ d i ( ˉ x α β γ L I ) (man erinnere sich, dass das Implizieren einer bestimmten Klausel C das Implizieren einer Klausel bedeutet, die C subsumiert ). Da jede Auflösung mit d i | I = ( x ) als Operand entfernt ˉ x vom anderen Operanden, dann keine Klausel von R c ∖ d $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$enthält (da R c ∖ d i ⊆ R | I , welche die 3-begrenzte Schließung ist F & phiv; ∪ F & phiv; | I ). Dann impliziert R c ∖ d i ( α β γ L I ) und induziert P ( k + 1 ), wie in Punkt (4) gezeigt.$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Wenn dann impliziert R c ∖ d i ( ˉ x α β γ L I ) . Ersetzen ˉ x durch eine in jeder möglichen Klausel von R c ∖ d i (wenn die neue Klausel durch eine Klausel in subsumiert R | I , halten Sie die subsumierenden Klausel statt Wie dem auch sei, die ersetzende Klausel ist in. R | I ). Name R $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$ die resultierende Menge ( R c , d i ⊆ R | I ). Dannimpliziert R c , d i (αβγ L I )und induziertP(k+1)wie oben.$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Wenn dann impliziert R c ∖ d i ( ˉ x α β γ L I ) und ( ˉ y α β γ L I ) . Ersetzen Sie ˉ x durch y in jeder möglichen Klausel von R c ∖ d i (wie oben, wenn die neue Klausel durch eine Klausel in R | I subsumiert wird$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$, behalten Sie stattdessen die Subsuming-Klausel bei). Nennen Sie die resultierende Menge ( R c , d i ⊆ R | I ). Dann impliziert R c , d i ( y α β γ L I ) . Da es auch impliziert ( ˉ y α β γ L I ) , impliziert es das Resolvent ( α β γ L I ) , wodurch P induziert wird$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ .$P(k+1)$

Durch diese Wiederholung kann jede Klausel die 3-Schließung von F ϕ | Ich werde durch eine Klausel ∈ G ϕ | subsumiert Ich (der andere Weg gilt auch). Dann ist G ϕ | I entspricht dem 3-Verschluss von F ϕ | Ich .$\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

Ich sehe nicht, wie in Polynomzeit berechnet werden kann, da die Auflösung selbst exponentielle Zeit benötigt (im schlimmsten Fall). Angenommen, Ihre Kandidaten-3-CNF-Formel F 1 lautet wie folgt: F 1 : = { { a , b , c } , { d , e , ¬ c } , { a , ¬ b , f } , { d , e , ¬ f } $F_\phi$$F_1$

Wie Sie jedoch sehen können, sollten Sie , um die letzte Klausel in , zuerst alle vier Literal-Klauseln erhalten. Ich sehe also keine Möglichkeit, exponentiell viele Schritte zur Lösung loszuwerden. In der Tat wissen wir für einige Probleme wie das Pigeonhole-Prinzip, dass die Auflösung es nicht in weniger als exponentiell vielen Schritten lösen kann (aber um fair zu sein, soweit ich weiß, liegen diese Beispiele nicht in 3-CNF-Form und mit einer intelligenten Auflösung vor kann vorhanden sein, wenn die Eingabe garantiert in 3-CNF-Form vorliegt).$F_\phi$