Untergrenze für Determinante und Permanent

In Anbetracht der jüngsten Kluft bei Tiefe-3 ergibt sich (was unter anderem eine Tiefen-3-Arithmetikschaltung für die Determinante über ergibt ), Ich habe folgende Fragen: Grigoriev und Karpinski haben eine Untergrenze für jede arithmetische Tiefen-3-Schaltung bewiesen, die die Determinante von Matrizen über endlichen Feldern berechnet (was ich vermute, gilt auch für die Permanent). Die Ryser-Formel zur Berechnung der bleibenden Zahl liefert eine arithmetische Schaltung der Tiefe 3 der Größen×nC2&OHgr;(n)n×nO(n22n)=2O(n$2^{\sqrt{n}\log{n}}$$n \times n$$\mathbb{C}$$2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$. Dies zeigt, dass das Ergebnis für Schaltkreise der Tiefe 3 für die permanenten über endlichen Felder im Wesentlichen eng ist. Ich habe zwei Fragen:

1) Gibt es eine Formel der Tiefe 3 für die Determinante analog zur Ryser-Formel für die bleibende Karte?

2) Ergibt eine Untergrenze für die Größe der Arithmetikkreise, die das Determinantenpolynom \ textit {immer} berechnen, eine Untergrenze für das Permanente Polynom? (Über handelt es sich um dieselben Polynome).$\mathbb{F}_2$

Obwohl sich meine Frage aktuell auf diese Polynome über endliche Felder bezieht, möchte ich auch den Status dieser Fragen über beliebige Felder wissen.

Permanent ist für VNP unter p-Projektionen für alle Felder, die nicht zu Merkmal 2 gehören, vollständig. Dies gibt eine positive Antwort auf Ihre zweite Frage. Wenn diese Reduzierung linear wäre, gäbe es eine positive Antwort auf Ihre erste Frage, aber ich glaube, das bleibt offen.

gesagt: Es gibt ein Polynom so dass eine Projektion von , dh es gibt eine bestimmte Substitution, die jede Variable entweder an eine Variable sendet oder eine solche Konstante, dass nach dieser Substitution die Determinante permanent die Determinante berechnet .d e t n ( X ) p e R m q ( n ) ( Y ) y i j x k l q ( n ) × Q ( n ) n × $q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$$n \times n$

1) Somit ergibt die Ryser-Formel eine Tiefe-3-Formel (Tiefe nimmt unter Projektionen nicht zu, da die Substitutionen an den Eingangsgattern durchgeführt werden können) der Größe für die Determinante. UPDATE : Wie @Ramprasad in den Kommentaren ausführt, gibt dies nur dann etwas Nichttriviales, wenn , da es eine triviale Formel für Tiefe 2 der Größe für det. Ich bin mit Ramprasad darin, dass das Beste, was ich weiß, die Reduktion durch ABPs ist, die ergibt . q ( n ) = o ( n log n ) n ⋅ n ! = 2 O ( n log n ) q ( n ) = O ( n 3$2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$$q(n)=O(n^3)$

2) Kann das permanent durch eine Schaltung der Größe über ein Feld der Charakteristik nicht 2 berechnet werden , dann kann die Determinante durch eine Schaltung der Größe berechnet werden . Eine untere Schranke von für die Schaltungsgröße für ergibt also eine untere Schranke von für die Schaltungsgröße für die bleibende (das ist invers , nicht ). Das oben erwähnte ergibt eine untere Grenze von perm von einer unteren Grenze von det.$m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$$q$ $1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

Es ist sehr wahrscheinlich, dass die Determinante in gewisser Weise härter ist als die bleibende. Sie sind beide Polynome, der Waring Rank (Summen von n Potenzen linearer Formen) der bleibenden Karte ist ungefähr 4 ^ n, der Chow Rank (Summen von Produkten linearer Formen) ist ungefähr 2 ^ n. Es ist klar, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank. Für die Determinante sind diese Zahlen nur Untergrenzen. Andererseits habe ich vor einiger Zeit bewiesen, dass der Waring-Rang der Determinante durch (n + 1) nach oben begrenzt ist! und dies könnte nahe an der Wahrheit liegen.