NP-harte Probleme bei Expandergraphen?

In einer Präsentation von 2006 mit dem Titel EXPANDER GRAPHS - GIBT ES NOCH GEHEIMNISSE? Nati Linial stellte das folgende offene Problem:

Welches -harte Rechenproblem im Graphen bleibt schwierig, wenn es auf Expandergraphen beschränkt ist? $NP$

Seitdem hat sich bisher keine Fortschritte gemacht solches Ergebnis für einen zu beweisen , -hard Problem? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

— Mohammad Al-Turkistany
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Könnte jemand vielleicht erläutern, warum diese Frage interessant ist? Haben wir Beispiele dafür, dass NP-harte Probleme leicht werden, wenn wir uns auf Expandergraphen beschränken?

— Jukka Suomela

@Jukka: Expanders kann

für kleine -regelmäßige

(zB

), noch einige NP-schwere Probleme sind einfach auf die Klasse von max-Grad -

Diagramme für kleine

(zB Graphenfärbungs für

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$

d

$d$

d < 4

$d<4$

— András Salamon

@ András: Klar, aber das hängt nicht wirklich mit den Expansionseigenschaften zusammen. Lassen Sie mich umformulieren: Haben wir Beispiele für Probleme, die bei

regulären Diagrammen schwierig, bei

regulären Expander-Diagrammen jedoch einfach sind ?

d

$d$

d

$d$

— Jukka Suomela

@Jukka: Es wurde gezeigt, dass einzigartige Spiele polynomielle Zeitnäherungsalgorithmen haben, wenn der Beschränkungsgraph ein Expander ist [Arora-Khot-Kolla-Steurer-Tulsiani-Vishnoi STOC '08]. Es ist nicht bekannt, dass dies bei allgemeinen Graphen der Fall ist, und wenn die UGC wahr wäre, gäbe es tatsächlich keine polynomiellen Zeitalgorithmen. Ich habe das als Motivation für die Frage von turkistany genommen.

— Arnab

@Jukka, meine Motivation ist es, die Beziehung zwischen zufälligen Eigenschaften von Expandern und der rechnerischen Härte von Problemen zu verstehen. Ich erwarte zum Beispiel nicht, dass Independent-Sets für Expander einfach sind.

— Mohammad Al-Turkistany

Antworten:

Wenn "unsymmetrische Expander" im Sinne dieser Frage als Expander gelten (ein unsymmetrischer Expander: ein zweigliedriger Graph , so dass für jede Teilmenge , der Bruchteil von Kanten zwischen und sind etwa $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ), dann sind viele Probleme bei Expandern (z. B. Bedingungszufriedenheitsprobleme) schwer zu approximieren.

Insbesondere der Beweis des PCP-Theorems mit zwei Abfragen und geringem Fehler [mit Ran Raz im Jahr 2008] konstruiert Expandergraphen.

— Dana Moshkovitz
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Meinen

— Suresh Venkat

Suresh: Ja, das Papier konstruiert unsymmetrische Expander / Sampler / Extraktoren, aber nicht besser als die bekannten Konstruktionen von solchen.

— Dana Moshkovitz

Vermutlich ist es einfach zu zeigen, dass viele exakte Probleme (und möglicherweise auch starke Approximationsprobleme) für Expander NP-schwer sind. Die Idee ist, dass, wenn Sie einen beliebigen Graphen konstanten Grades auf Eckpunkten nehmen und einen weiteren Expander auf disjunkten Eckpunkten hinzufügen und eine Übereinstimmung zwischen und , Sie einen Expander erhalten. Der Grund dafür ist, dass jede Menge von weniger als der Hälfte der Scheitelpunkte entweder einen konstanten Bruchteil der übereinstimmenden Kanten außerhalb der Scheitelpunkte aufweist oder dass ihr Schnittpunkt mit höchstens Bruchteil der Scheitelpunkte von . $G$ $n$ $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$

Da Sie willkürlich wählen können (sagen wir, nehmen Sie einen zufälligen Graphen), können Sie die optimale Lösung für Ihr NP-Problem in , und daher kann (abhängig vom Problem) die Hoffnung bestehen, dass Sie eine Lösung für den kombinierten Graphen erhalten mindestens eine Näherungslösung für . Aber ich habe dies nicht auf ein konkretes Problem überprüft. $H$ $H$ $G$

Natürlich gibt es, wie oben erwähnt, natürliche Probleme (insbesondere einzigartige Spiele), bei denen man solche Tricks nicht ausführen kann, und insbesondere sind Algorithmen für Expander bekannt und im allgemeinen Fall nicht bekannt. Man sollte auch in der Lage sein , mit etwas gekünstelt Beispiel für ein Problem zu finden, die im Allgemeinen NP schwer ist , aber leicht auf Expander (zB nehmen Sie sich etwas willkürlich NP hart Problem auf Graphen, und ändern Sie es so , dass alle Instanzen mit Spektrallücke mehr als sind JA ...). $1/\log n$

— Boaz Barak
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