Regularitäts-Lemma für spärliche Graphen

Szemeredis Regelmäßigkeits-Lemma besagt, dass jeder dichte Graph als Vereinigung von vielen zweigeteilten Expandergraphen angenähert werden kann . Genauer gesagt gibt es eine Aufteilung der meisten Scheitelpunkte in -Sätze, sodass die meisten Paare von Sätzen zweiteilige Expander bilden (die Anzahl der Sätze in der Partition und der Expansionsparameter hängen vom Approximationsparameter ab): $O(1)$ $O(1)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

Es gibt Versionen dieses Lemmas für "gutmütige", spärliche Graphen, siehe zB:

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

Was mich an diesen Formulierungen überrascht, ist, dass sie nur garantieren, dass die meisten Paare von Sätzen in der Partition zweiteilige Expander bilden, und diese zweiteiligen Expander können leer sein. In allgemein spärlichen Diagrammen ist es daher durchaus möglich, dass alle Kanten zwischen verschiedenen Teilen in der Partition der Scheitelpunkte nicht zu einem Expander gehören.

Ich frage mich, ob es Formulierungen gibt, die ergeben, dass die meisten Kanten zwischen Teilen von einem Expander stammen, oder ob es keine Hoffnung für eine solche Formulierung gibt.

graph-theory co.combinatorics expanders

— Dana Moshkovitz
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aber scheint es nicht intuitiv zu sein, dass das thm, das für dichte Graphen gedacht ist, in gewisser Weise in spärliche zerfällt? Beachten Sie, dass der mit verlinkte Wikipedia-Verweis eigentlich nichts über Expander-Diagramme aussagt, was darauf hindeutet, dass es sich möglicherweise um eine spätere Interpretation / Formulierung handelt ...

— vzn

(1) Der übliche Ausdruck für die sich gut verhaltenden Paare von Mengen sind "reguläre Paare" (in Wikipedia "pseudozufällige" Paare). Ich habe es durch "zweiteilige Expander" ersetzt, weil ich diese Terminologie für mich natürlicher finde. In jedem Fall ist beabsichtigt, dass die Anzahl der Kanten zwischen den Teilmengen proportional zur Anzahl der Kanten im Paar ist, wenn Sie von beiden Seiten des Paares ausreichend große Teilmengen auswählen. (2) Was für dichte Graphen gilt, gilt natürlich möglicherweise nicht mehr für spärliche Graphen. Meine Frage ist genau, inwieweit die Eigenschaften aus dem dichten Fall im spärlichen Fall weiterhin gelten.

— Dana Moshkovitz

Nachfolgend finden Sie eine langatmige Antwort, aber tl; dr im allgemeinen Fall gibt es keine Hoffnung für eine solche Formulierung, aber für viele der einzelnen Klassen von spärlichen Graphen , die Regelmäßigkeit haben Lemmata diese Formulierung vorhanden ist .

Für den Hintergrund gibt es zwei beliebte Versionen des SRL. Sie sind: Für jedes feste und jedes Knoten-Diagramm kann man in Teile, damit ... $\varepsilon > 0$ $n$ $G = (V, E)$ $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ $p = O_{\varepsilon}(1)$

(Kombinatorische Formulierung) (1) und die Größen von unterscheiden sich um höchstens ( wird als "außergewöhnliche Menge" bezeichnet) und (2) alle übrigen Teile außer befriedige (hier gibt die Dichte zwischen den Teilen an, dh den Bruchteil der vorhandenen Kanten). $|V_0| \le \varepsilon n$ $V_1, \dots, V_p$ $1$ $V_0$ $\varepsilon p^2$ $(V_i, V_j)$
$| d (S, T) - d (V_{i}, V_{j}) | < ε for all S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}$ $\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$ $d(\cdot, \cdot)$

$d i s c (V_{i}, V_{j}) := max_{S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}} | V_{i} | | V_{j} | | d (V_{i}, V_{j}) - d (S, T) |,$ $\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$ $\sum_{i, j = 0}^{p} d i s c (V_{i}, V_{j}) < ε n^{2} .$ $\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$

Die "kombinatorische Phrasierung" (ich habe diese Namen gerade erfunden, sie sind nicht Standard) ist die ursprüngliche und wahrscheinlich berühmtere, wohingegen die "analytische Phrasierung" moderner ist und sich auf Diagrammgrenzen usw. bezieht (ich denke, sie wurde hier populär gemacht)). Für mich ist die analytische die richtige Formalisierung von "Graph, approximiert durch Vereinigung von zweigeteilten Expandern", da sie eine Kontrolle über den gesamten "Fehler" einer solchen Approximation liefert und es keine außergewöhnliche Menge gibt, in der sich die Masse verstecken lässt. Zu diesem Zeitpunkt ist dies jedoch nur kosmetisch, da es ein einfaches, aber wichtiges Lemma ist, dass diese beiden Formulierungen gleichwertig sind. Um von Combinatorial zu Analytic zu gelangen, hat gerade Union den Beitrag zur Diskrepanz der unregelmäßigen Teile und der außergewöhnlichen Menge gebunden. Um von Analytisch zu Kombinatorisch zu gelangen, bewegen Sie einfach ein Teil, das zu viel Diskrepanz zur außergewöhnlichen Menge beiträgt, und wenden Sie Markovs Ungleichung an, um die Masse zu steuern.

Nun zu spärlicher Regelmäßigkeit. Ziel einer spärlichen Regelmäßigkeit ist es, das in den jeweiligen Ungleichungen durch zu ersetzen , wobei der Bruchteil aller in vorhandenen möglichen Kanten ist . Kritisch ist, dass mit dieser Änderung die beiden Formulierungen nicht mehr gleichwertig sind. Vielmehr ist die analytische Formulierung stärker: Sie impliziert immer noch Combinatorial genau wie zuvor, aber Combinatorial impliziert im Allgemeinen nicht Analytic, da man (wie im OP erwartet) möglicherweise viel Dichte in der außergewöhnlichen Menge oder zwischen den nicht regulären Mengen verstecken kann Paare von Teilen. In der Tat ist diese Trennung formal: die unteren Diagramme für die dichte SRL (sagen wir diese hier) $\varepsilon$ $\varepsilon d(G)$ $d(G)$ $G$ ) implizieren, dass sich die analytische Formulierung im Allgemeinen nicht auf spärliche Diagramme erstreckt, aber der Artikel von Scott, der im OP verlinkt ist, zeigt, dass sich die kombinatorische Formulierung tatsächlich auf alle spärlichen Diagramme ohne Bedingungen erstreckt.

Die im OP verknüpfte Umfrage befasst sich hauptsächlich mit einer SRL für "ober-reguläre" spärliche Diagramme, was ungefähr bedeutet, dass das Diagramm keine Schnitte aufweist, die um mehr als einen konstanten Faktor dichter als der Durchschnitt sind. Für diese speziellen Diagramme sind die kombinatorischen und analytischen Formulierungen gleichwertig, da in den Ausnahmeteilen nicht zu viel zusätzliche Masse verborgen sein darf, sodass ihr Beitrag zur Diskrepanz wie im dichten Fall unionsbegrenzt sein kann. Diese Graphen haben also eine "durch Vereinigung von zweiteiligen Expandern angenäherte" Interpretation.

Abschließend möchte ich erwähnen, dass es in der Literatur viele andere Hypothesen gibt, die ebenfalls eine Äquivalenz zwischen diesen Formulierungen implizieren. Zum Beispiel ist Obere Regelmäßigkeit ( hier definiert ) allgemeiner als Obere Regelmäßigkeit und reicht immer noch aus, um Äquivalenz zu implizieren. Für diese und andere Grafikklassen sind mir jedoch nur die damit verbundenen schwachen Regelmäßigkeitslemmas bekannt. $L_p$

— GMB
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Auch Entschuldigungen für die Threadnekromantie - dies stimmte einfach mit meiner aktuellen Überprüfung überein, und ich dachte, ich würde das, was ich fand, mit anderen teilen.

— GMB