Automorphismus in Cai-Furer-Immerman-Geräten

In dem berühmten Gegenbeispiel zur Graphisomorphie nach Weisfeiler-Lehman (WL) wurde das folgende Gadget in dieser Arbeit von Cai, Furer und Immerman konstruiert . Sie konstruieren einen Graphen $X_k = (V_k, E_k)$ gegeben durch

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

Eines der Lemmas im Papier (Lemma 3.1, Seite 6) besagt, dass, wenn wir die Eckpunkte und b i mit Farbe i färben, dann | A u t ( X k ) | = 2 k - 1 (Farbe muss durch den Automorphismus erhalten bleiben) wobei jeder Automorphismus dem Vertauschen von a i und b i für jedes i in einigen Teilmengen S von { 1 , 2 , … , k $a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$von gleicher Kardinalität. Sie sagen, dass der Beweis sofort ist. Aber ich verstehe nicht, wie gerade im Fall von . In X 2 ( a 1 , m { 1 , 2 } ) ist eine Kante, aber wenn wir einen Automorphismus haben, der a 1 , b 1 und a 2 , b 2 vertauscht , wird die obige Kante in ( b 1 , m { 1 , 2) transformiert }$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$$(b_1, m_{\{1,2\}})$Das ist keine Kante. Das sollte also kein Automorphismus sein.

Ich würde gerne verstehen, was mein Missverständnis ist.

Sie fehlt die emptyset , die für alle verbunden ist b ‚s. Um einen Automorphismus zu erhalten, wählen Sie eine Teilmenge T ⊆ { 1 , . . . , k } von gerader Kardinalität und tauscht dann a i mit b i für jedes i ∈ T und passt dann die Mengen in der Mitte an. In Ihrem Beispiel ist das Diagramm ( eine 1 , { 12 } ) , ( eine 2 , { 12 } ) $\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

Wenn in Ihrem Beispiel , müssen Sie nichts tun, und wenn T = { 1 , 2 } ist, wird der Automorphismus durch Tauschen von a 1 mit b 1 , a 2 mit b 2 und { 1 , 2 } mit ∅ angegeben .$T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

Nun müssen wir für den allgemeinen Fall zeigen, dass es immer eine Möglichkeit gibt, die mittleren Scheitelpunkte anzupassen. Wir wissen, dass sogar Kardinalität hat. Also lass | T | = 2 r . Wir müssen nur zeigen, dass ein solcher Automorphismus existiert, wenn | T | = 2, da wir andernfalls die Zusammensetzung von r Automorphismen anwenden können, die der Aufteilung von T in r Teilmengen der Größe 2 entsprechen . Nehmen wir also T = { i , j } an . Dann tauscht der Automorphismus ein i mit$T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$ , a j mit b j , wobei jeder mittlere Scheitelpunkt S so ist, dass S ∩ { i , j } = ∅ mit dem mittleren Scheitelpunkt S ∪ { i , j } (dies ist in Ihrem Beispiel zu sehen), und jede Teilmenge S wie dass S ∩ { i , j } = { i } mit der Teilmenge, so dass S ∩ { i , j $b_i$$a_j$$b_j$$S$$S\cap\{i,j\}=\emptyset$$S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$ (Dies können Sie für k = 3 sehen ). Beachten Sie, dass dieser Austauschprozess ein Automorphismus ist, da für einen Index p ≠ { i , j } die Kantenbeziehung zwischen a p , b p und diesen ausgetauschten Eckpunkten vollständig erhalten bleibt und die Kantenbeziehung zwischen a i , a j , b i eindeutig erhalten bleibt , b j ist richtig eingestellt.$S\cap \{i,j\}= \{j\}$$k=3$$p\neq \{i,j\}$$a_p$$b_p$$a_i,a_j,b_i,b_j$

Um schließlich zu sehen, dass dies die einzig möglichen Automorphismen sind, beachten Sie, dass jedes mit seiner eigenen Farbe gefärbt ist. Sie können also nicht auf ein anderes Paar a j , b j abgebildet werden . Beachten Sie auch, dass es nicht möglich ist, einen Automorphismus zu haben, der einen mittleren Scheitelpunkt auf einen mittleren Scheitelpunkt abbildet, ohne ein a i mit einem b j zu tauschen . $a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$$b_j$$\square$