Gibt es bekannte NP-Probleme, von denen vermutet wird, dass sie im Durchschnitt exponentiell schwer sind?

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Die ETH gibt an, dass SAT im schlimmsten Fall in subexponentieller Zeit nicht gelöst werden kann. Was ist mit dem Durchschnittsfall? Gibt es natürliche Probleme in NP, von denen vermutet wird, dass sie im Durchschnitt exponentiell schwer sind?

Unter Durchschnittsfall versteht man die durchschnittliche Laufzeit mit gleichmäßiger Verteilung auf die Eingänge.

cc.complexity-theory np average-case-complexity

— Anonym
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Sie benötigen eine Definition für "Durchschnittsfall", um Ihre Frage mathematisch sinnvoll zu gestalten.

— Yixin Cao

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vzn, ich verstehe die Relevanz Ihres Kommentars nicht. Ich frage hier nicht nach einem offenen Problem, es ist offensichtlich, dass es keine Probleme gibt, von denen bekannt ist, dass sie im Durchschnitt schwierig sind. Ich frage, ob es Kandidaten gibt , von denen vermutet wird , dass sie im Durchschnitt hart sind. Bitte lesen Sie die Frage sorgfältig durch, bevor Sie sie kommentieren.

— Anonym

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@vzn Genau! Ich stimme definitiv zu, meine Bedeutung ist, dass es für eine solche Vermutung schwierig erscheint , einen bedeutungsvollen Schritt nach vorne zu machen oder die von Ihnen erwähnten Forschungsrichtungen wesentlich zu ändern.

— Usul

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OP, beachten Sie, dass die erwartete Laufzeit nicht die übliche Menge ist, die wir bei der durchschnittlichen Fallhärte betrachten. siehe einige Umfrage zur durchschnittlichen Fallkomplexitätstheorie von Levin

— Sasho Nikolov

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Sasho Nikolov, mir ist Levins Theorie bekannt. Es gibt jedoch auch eine einfachere durchschnittliche Fallkomplexität, die zur Analyse des Verhaltens von Algorithmen auf einer bestimmten Verteilung verwendet wird und auf [Karp 1986] zurückgeht, was bei Algorithmen häufiger vorkommt. Mir ist bekannt, dass das Kachelproblem und einige andere Probleme für DistNP vollständig sind. Ich weiß jedoch nicht, ob vermutet wird, dass sie im Durchschnitt exponentiell hart sind, wenn man die einfache Bedeutung des Durchschnittsfalls aufgrund von Karp verwendet.

— Anonym

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$2^{n^{1-o(1)}}$ $2^{O(n/\log n)}$

— Ryan O'Donnell
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Vielen Dank. Könnten Sie bitte Referenzen angeben, in denen ich mehr über das LPN-Problem lesen kann?

— Anonym

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@ Anonym: Dieses Papier enthält mehrere Vermutungen zur Härte von LPN: M. Alekhnovich. "Mehr über die durchschnittliche Fall- und Approximationskomplexität." In Proc. des 44. Symposiums über Grundlagen der Informatik, S. 298–307, 2003.

— Yury

Yury, danke für den Hinweis: math.ias.edu/~misha/papers/average.ps

— Anonymous

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$n$ $cn$ $c$

— David Eppstein
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Vielen Dank. Gibt es einen Grund, warum sie nicht die stärkere Aussage vermuten, dass zufälliges k-SAT, das auf das Klauselverhältnis nahe der Erfüllbarkeitsschwelle beschränkt ist, exponentiell schwierig ist?

— Anonym

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Ich vermute, dass dies daran liegt, dass sie Ergebnisse über Backtracking-Algorithmen nachweisen können, die nicht von P ≠ NP abhängig sind.

— David Eppstein

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Es gibt mehrere Pseudozufallszahlengeneratoren, für die wir keine Polynomzeitalgorithmen zum Brechen haben. Ich denke, man könnte sie im Durchschnitt als schwierig betrachten. Schauen Sie sich die Generatoren unter www.ecrypt.eu.org/stream/ an. Es gibt natürlich auch andere, die Sie online recherchieren können.

— William Hird
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Gibt es eine bestimmte Polytime-PRNG, von der vermutet wird, dass sie im Durchschnitt exponentiell hart ist?

— Anonym

Der von Gunther erfundene Alternating Step Generator ist aus mehreren Gründen eine Schönheit. Es werden zwei lineare Rückkopplungsschieberegister (LFSRs) A & B und XORs die Ausgänge benötigt, aber die Taktung der beiden Register wird von einem dritten LFSR (C) so gesteuert, dass die Ausgänge von A & B unregelmäßig in das XOR-Gatter eintreten. Da die Bits von C nur die Taktung von A & B steuern und nicht im Ausgabestream erscheinen, kann C als quasi versteckte Variable betrachtet werden, die die inhärente Linearität von A & B aufbricht. Dies ist eine vereinfachte Erklärung, aber Sie werden es wollen um die Schaltung selbst zu sehen.

— William Hird

Ich bin nicht mit "Alternating Step Generator von Gunther erfunden" vertraut. Wird vermutet, dass es im Durchschnitt exponentiell schwer ist?

— Anonym

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Ich weiß nicht, wie ich Ihren Kommentar als gestellt beantworten soll, aber die ASG wird als unzerbrechlich angesehen, solange die Schlüssellängen für die drei Schieberegister jeweils etwa 128 Bit betragen. Wenn dies bedeutet, "im Durchschnitt exponentiell hart" zu sein, dann lautet Ihre Antwort wohl "Ja".

— William Hird

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@Anonymous: Natürlich kann es schwieriger werden, die "Bare-Bones" -ASG zu brechen, indem drei ASGs als Register AB & C für eine andere ASG verwendet werden. Gunther spielt in seiner Originalarbeit darauf an. Es ist, als würde man einer Blockchiffre mehr Runden hinzufügen. Wie weit man mit dieser Methode die Härte steigern kann, ist eine offene Frage (und interessant) :-)

— William Hird

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Mein Verständnis ist, dass es zwar einige Kandidaten aus der Theorie der Unzerbrechlichkeit von Kryptographie und Zufallszahlengeneratoren gibt [z. B. einige, die in Razborov / Rudich, Natural Proofs, zitiert wurden], die meisten Aspekte Ihrer Frage jedoch von Experten als grundsätzlich wichtige "noch offene" Fragen anerkannt werden im Feld. Von der Einführung bis zur umfassenden Umfrage weist die durchschnittliche Fallkomplexität von Bogdanov und Trevisan (2006) einige verwandte Punkte auf. Hilfreich kann auch Trevisans Youtube-Vortrag über Ergebnisse und offene Fragen von durchschnittlicher Fallkomplexität sein.

$\neq$

$\neq$

Die richtigen Techniken, um eine solche Theorie auf natürliche Probleme und Verteilungen anzuwenden, wurden noch nicht entdeckt. Unter diesem Gesichtspunkt ähnelt der aktuelle Stand der Theorie der durchschnittlichen Fallkomplexität in NP dem Stand der Theorie der Unannäherbarkeit von NP-Optimierungsproblemen vor dem PCP-Theorem.

— vzn
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Keine Antwort auf meine Frage. Ich dachte, ich hätte Ihnen erklärt, dass ich nicht nach allgemeinen Kommentaren zu verwandten Themen suche , sondern nach Kandidatenproblemen, von denen vermutet wird, dass sie schwierig sind .

— Anonym

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was auch immer! imho "die Theorie hat zu diesem Zeitpunkt keine wesentliche Antwort auf Ihre Frage" zusammen mit einigen der besten / nächstgelegenen Verweisreferenzen / -behörden auf dem Thema ist eine legitime Antwort auf Ihre Frage, die nicht nur für Sie veröffentlicht wurde

— vzn

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@ Anonym, ich bin immer noch ein bisschen verwirrt über deine Bedeutung von "vermutet". Wir alle haben vielleicht unsere persönlichen Vermutungen, daher ist es nicht klar, ob Sie nach einer persönlichen Meinung, einer Haltung zu einer offenen Frage suchen, die von vielen Menschen in der Forschung geteilt wird, oder etwas dazwischen. Es kann hilfreich sein, eine genauere Aussage darüber zu machen, wonach Sie suchen. Außerdem finde ich Antworten wie vzns lehrreich und informativ, auch wenn sie sich nicht direkt auf Ihre genaue Frage beziehen. Daher sehe ich nicht, dass solche Antworten so stark entmutigt werden sollten.

— Usul

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Wenn Sie meinen Kommentar gelesen haben, auf den Peter Shor geantwortet hat, sind mir bereits kryptografische Probleme bekannt, von denen vermutet wird, dass sie superpolynomiell schwierig sind. Bitte lesen Sie die Frage sorgfältig durch. Ich suche keine superpolynomiell schwierigen Probleme, sondern exponentiell schwierige.

— Anonym

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Bitte nehmen Sie weitere Diskussionen, um zu chatten.

— Jeffs