Algebraische (oder numerische) Invarianten von Komplexitätsklassen

Ich hoffe, diese Frage ist für diese Seite nicht zu naiv.

In der Mathematik (Topologie, Geometrie, Algebra) ist es üblich, zwischen zwei Objekten zu unterscheiden, indem man eine algebraische oder numerische Invariante erstellt und beweist, dass die beiden Objekte unterschiedliche Werte haben. Ich frage mich, inwieweit dies mit Komplexitätsklassen versucht wurde (oder wenn ja, warum ich noch nie davon gehört habe). Algebraische Strukturen tauchen in der theoretischen Informatik insgesamt häufig auf (vgl. Verwendung algebraischer Strukturen in der theoretischen Informatik ). Warum also nicht in der Komplexitätstheorie?

In meiner Naivität kann ich mir einen Begriff der Äquivalenz zweier Sprachen vorstellen: die Existenz einer Polynom-Zeit-Reduktion, die ebenfalls reversibel ist (oder eine Bijektion auf den Saiten). Ich kann mir auch vorstellen, dass dieser Begriff ungeeignet ist: Keine endlichen Sprachen unterschiedlicher Kardinalität könnten als gleichwertig angesehen werden, obwohl wir uns häufiger für unendliche Sprachen interessieren.

Gibt es andere, schwächere Vorstellungen von Isomorphismus von Sprachen, die zu interessanten Ergebnissen geführt haben? Gibt es andere Arten von numerisch aromatisierten Invarianten, die zur Unterscheidung von Komplexitätsklassen verwendet wurden?

$\cong^p$$A$$B$$A \equiv_m^p B$$A$$B$$\equiv_T^p$$P$$NP$

$\equiv_T^p$$f: 2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$$A \equiv_T^p B$$f(A) = f(B)$.

$f:2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$$f(A) \neq f(B)$$A \not\equiv_T^p B$

Die Klassifizierung aller Äquivalenzklassen ist jedoch auch stärker als das, was uns normalerweise wichtig ist, da die Anzahl der Äquivalenzklassen, die als natürliche Komplexitätsklassen angezeigt werden, vergleichsweise gering ist (trotz der verbotenen Größe des Komplexitätszoos). Es gibt jedoch andere "numerische" Invarianten, die wir Sprachen zuordnen können. Eine davon ist ihre Dichte: Die Dichte einer Sprache ist die Funktion Anzahl der Zeichenfolgen in der Länge . Es ist zu beachten, dass die Dichte bis zu einer Polynomänderung durch Polyzeit-Isomorphismen erhalten bleibt, jedoch nicht notwendigerweise durch Polynom-Zeit-Äquivalenzen (z. B. sind alle Sprachen in Polynom-Zeit-Äquivalente, aber sie können wild unterschiedliche Dichten haben).$A$$d_A(n) :=$$A$$\leq n$$P$

Wir wissen Dinge wie: Wenn polynomisch spärlich ist ( ), kann nicht vollständig sein, es sei denn, (Mahaneys Theorem). Es gibt viele andere Ergebnisse zu spärlichen Sprachen und ihrer Beziehung zu Komplexitätsklassen. Für gute Umfragen siehe Cai und Ogihara "Sparse Sets versus Complexity Classes" in Complexity Theory Retrospective II (online verfügbar - nur Google) und Hemaspaandra und Glaßers Artikelpaar "A Moment of Perfect Clarity I, II" in SIGACT News.$A$$d_A(n) \leq poly(n)$$A$$NP$$P=NP$

Wie von @SureshVenkat erwähnt, können Sie die geometrische Komplexitätstheorie in dem Licht betrachten, von dem Sie sprechen. Die dort verwendeten algebraischen Objekte - nämlich Darstellungen - ähneln jedoch eher den allgemeinen Eigenschaften einer Sprache als den numerischen Eigenschaften an sich, sind jedoch zumindest Eigenschaften eines algebraischen Geschmacks.

Schließlich ist in der algebraischen Komplexitätstheorie eine numerische Eigenschaft, die erwähnenswert ist, aber wahrscheinlich nicht zur Lösung der großen Fragen beiträgt, der Grad. (Wie im Grad eines Polynoms.) Strassens Gradgrenze ist immer noch die einzige bekannte superlineare Untergrenze für uneingeschränkte algebraische Schaltkreise. Der Abschluss wird auch verwendet, z. B. in Razborov-Smolensky und vielen anderen Bereichen mit geringer (boolescher) Schaltungskomplexität.