Zur Optimalität des Grover-Algorithmus mit hoher Erfolgswahrscheinlichkeit

Es ist bekannt , dass beschränkte Fehler quantum query Komplexität der Funktion ist , $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ . Nun ist die Fragewas passiertwenn wir unser Quantenalgorithmus für jede Eingabe mitWahrscheinlichkeit erfolgreich sein wollenanstatt der üblichen. Was wärenun in Bezug aufdie geeignete Ober- und Untergrenze? $\Theta(\sqrt{n})$ $1-\epsilon$ $2/3$ $\epsilon$

Es ist unmittelbar, dass Abfragen reichen für diese Aufgabe aus, indem der Grover-Algorithmus wiederholt wird. Soweit ich mich erinnere, ist dies jedoch keineswegs optimal, da selbst ein einfacher Grover-Algorithmus bei sorgfältiger Ausführung, dh bei einer angemessenen Anzahl von Iterationen,mit nurso etwas wieerreichen kann $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ $\epsilon=O(1/n)$ Iterationen. Und daher mitdass man eine Verbesserung für alle erhalten können‚s. Andererseits erwarte ich nicht, dass $O(\sqrt{n})$ $\epsilon$ die richtige Antwort für sehr kleine. $\Omega(\sqrt{n})$ $\epsilon$

Aber ich bin interessiert zu sehen, was man in Bezug auf abhängige Ober- und Untergrenzen für verschiedene Bereiche von besonders wenn sehr klein ist, sagen wir oder für große 's. $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ $\epsilon=1/n^k$ $k$

(Um einen gewissen Kontext zu geben, ist das allgemeine Phänomen, auf das ich stoße, die Verstärkung im Kontext der Komplexität von Quantenabfragen.)

— Mohammad Bayer
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Dieses Papier sollte Antworten auf Ihre Fragen geben: arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— John Watrous

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

\frac{π}{4} \sqrt{N}

$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

o (1)

$o(1)$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

@MohammadBavarian: Ich denke, das ist nur in dem Fall, in dem die Anzahl der Lösungen bekannt ist (oder es gibt eine eindeutige Lösung).

— Robin Kothari

Der Vollständigkeit halber hier eine Antwort.

$Q_\epsilon(f)$ $\epsilon$ $f$ $\mathsf{OR}_n$ $n$ $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$ $\Theta(\sqrt{n})$

$\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

Dies folgt aus den Grenzen für Quantenalgorithmen mit kleinen Fehlern und mit null Fehlern .

$f$ $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

Dies wurde in einem Hinweis zu Quantenalgorithmen und dem minimalen Grad an Epsilon-Fehler-Polynomen für symmetrische Funktionen gezeigt .

— Robin Kothari
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