Algorithmen und rechnerische Komplexität von Clique- und Biclique-Covers

Ich habe eine Arbeit eines mathematischen Chemikers gelesen. Er schlägt einige Indizes vor, um die Komplexität von Molekülen zu messen. Denken Sie von nun an anstelle von Molekülen an ungerichtete zusammenhängende Graphen: Ein Scheitelpunkt ist ein Atom, und eine Kante ist eine Bindung zwischen Atomen. Es ist möglich, die Färbungen der Eckpunkte zu berücksichtigen, um die Stickstoffatome von den Kohlenstoffen zu unterscheiden, aber ich werde diesen Teil vorerst ignorieren.

Der Punkt: Die von ihm vorgeschlagenen Indizes sind heuristisch motiviert und experimentell "sieht bisher gut aus". Ich denke, es muss eine tatsächliche Theorie über einige dieser Größen bekannt sein, und ich hoffe, hier einige Hinweise zu bekommen.

Fix einen Graphen . Lassen Sie und zwei Abdeckungen sein . Angenommen, und sind die gleiche Art von Deckung, wenn sie die gleichen Arten von Untergraphen in gleicher Anzahl enthalten. (Anmerkung und müssen nicht isomorph sein.) Nun definieren wir die folgenden Größen: $G$ $C$ $C'$ $G$ $C$ $C'$ $C$ $C'$

Anzahl der Arten von Cliquenabdeckungen mit minimalen Kanten von Gesamtzahl derCliquenabdeckungenmit minimalen Kanten von wie jedoch für Bicliques wie jedoch für Bicliques $k_S(G) =$ $G$
$k_T(G) =$ $G$
$k^{bi}_S(G) =$ $k_S(G)$
$k^{bi}_T(G) =$ $k_T(G)$
Anzahl der Arten von Partitionen der Kanten von in Cliquen Gesamtzahl der Partitionen der Kanten des Graphen in Cliquen wie oben, jedoch mit Partitionen von in Bicliques $p_S(G) =$ $G$
$p_T(G) =$
$p^{bi}_S(G), p^{bi}_T(G)$ $G$

Empirisch ist es anscheinend einfacher, die Maße zu berechnen, als die Maße. Ich gehe davon aus, dass irgendwo etwas über die Berechnung einiger dieser Größen bekannt sein muss. Kann jemand Algorithmen, Rechenhärte usw. bereitstellen? Vielen Dank. $p$ $k$

— Aaron Sterling
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Sind diese Diagramme aus einer eingeschränkten Klasse? Ich meine, möchten Sie Algorithmen für diese Maßnahmen in beliebigen Graphen oder nur in der Chemie? Wenn Sie nicht nach allgemeinen Algorithmen suchen, kann es hilfreich sein, die Eigenschaften der in der Chemie auftretenden Graphen anzugeben, um eine Antwort auf Ihre Frage zu finden.

— Kaveh

"Empirisch ist es anscheinend einfacher, die p-Maße zu berechnen, als die k-Maße." Ich gehe davon aus, dass „einfacher“ bedeutet, dass die Berechnung schneller ist (anstatt beispielsweise, dass der Algorithmus einfach zu beschreiben ist). Wenn dies der Fall ist, über welche Art von Algorithmen sprechen Sie? Wenn Sie alle Möglichkeiten durch Backtracking oder eine andere Methode aufzählen, sind die p-Kennzahlen kleiner als die entsprechenden k-Kennzahlen, was bedeutet, dass es nicht verwunderlich ist, dass die p-Kennzahlen schneller zu berechnen sind.

— Tsuyoshi Ito

Ich bin mir nicht sicher, ob Sie das brauchen.

Sowohl die Edge Clique-Abdeckung als auch die Edge Clique-Partition befinden sich in FPT (siehe)

Datenreduktion und genaue Algorithmen für die Cliquenabdeckung

Parametrisierte Komplexität des Clique-Partitionsproblems

Die Biclique-Abdeckung wird ebenfalls untersucht und in FPT nachgewiesen.

— yzll
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Vielen Dank, dass Sie diese Frage von den Toten zurückgebracht haben. Ich weiß auch nicht, ob es das ist, was ich brauche, aber ich werde mir die Referenzen ansehen, auf die Sie bald verlinkt haben. Ich schätze es.

— Aaron Sterling