Was ist die erwartete Länge des kürzesten Hamilton-Pfades auf zufällig ausgewählten Punkten aus einem planaren Gitter?

$k$ verschiedene Punkte werden zufällig aus einem Gitter ausgewählt. (Offensichtlich ist und ist eine gegebene konstante Zahl.) Aus diesen Punkten wird ein vollständig gewichteter Graph erstellt, so dass das Gewicht der Kante zwischen Scheitelpunkt und Scheitelpunkt dem Manhattan-Abstand zweier Scheitelpunkte auf dem ursprünglichen Gitter entspricht . $p\times q$ $k\leq p\times q$ $k$ $i$ $j$

Ich suche nach einer effizienten Methode, um die erwartete Länge des kürzesten (minimalen Gesamtgewichts) Hamilton-Pfades zu berechnen, der durch diese Knoten verläuft. Genauer gesagt sind die folgenden naiven Ansätze nicht erwünscht: $k$

$\bullet$ Berechnet die genaue Pfadlänge für alle Kombinationen von k Knoten und leitet die erwartete Länge ab.

$\bullet$ Berechnet die ungefähre Pfadlänge für alle Kombinationen von k Knoten unter Verwendung der grundlegenden Heuristik der Verwendung eines minimalen Spannbaums, der einen Fehler von bis zu 50% ergibt. (Eine bessere Heuristik mit weniger Fehlern kann hilfreich sein.)

— Javad
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Derzeit gibt es keine Hoffnung auf einen effizienten Algorithmus, da das ungewichtete Hamilton-Pfadproblem auf dem planaren Gitter NP-vollständig ist.

— Mohammad Al-Turkistany

Wenn Sie vom Hamilton-Pfad sprechen, denken Sie dann über den Hamilton-Pfad mit dem geringsten Gewicht nach (auch bekannt als das Problem des Handlungsreisenden)?

— a3nm

@ MohammadAl-Turkistany Die Härte von HAM PATH ist nicht unbedingt ein Hindernis, da das OP lediglich eine Schätzung für zufällige Punkte darstellt.

— Suresh Venkat

@ a3nm ja, und ich habe es behoben.

— Suresh Venkat

Was ist falsch daran, die genaue Tourlänge für viele Zufallsstichproben von Punkten zu berechnen und die Erwartung und Standardabweichung zu ermitteln? Wie groß muss sein?

k

$k$

k, p, q

$k, p, q$

— Peter Shor

Unter der Annahme, dass und ziemlich groß sind, würde man erwarten, dass die erwartete Länge hauptsächlich von der Dichte abhängt, wobei ein gewisser Korrekturterm vom Umfang abhängt. Es wäre also in erster Ordnung eine Funktion der folgenden Form. $p$ $q$

L \approx (p q k)^{1 / 2} f (k / p q) + (p + q) g (k / p q) .

$L \approx (pqk)^{1/2} f(k/pq) + (p+q) g(k/pq).$

Jetzt können Sie Experimente zu Problemen kleinerer Größe verwenden, um herauszufinden, was und sind. Um abzuschätzen , möchten Sie zunächst Experimente an einer Probe ohne Grenze durchführen: Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, ein Gitter zu verwenden, bei dem die linke Seite mit der rechten Seite und die Oberseite mit der Unterseite verbunden sind und a bilden Torus. Um zu schätzen , können Sie Experimente an einem Gitter verwenden. $f$ $g$ $f$ $p\times p$ $g$ $p \times q$

Für die Schätzung müssen Sie (genau oder ungefähr) relativ große TSPs lösen. Je größer die für die Schätzung verwendeten sind, desto besser sind Ihre Ergebnisse. Sie können entweder Heuristiken verwenden, die innerhalb weniger Prozent liegen, oder einen genauen TSP-Code. Sehen Sie hier für ein paar gute Heuristik. Der Concorde TSP-Solver von Bill Cook findet das genaue Optimum für relativ große Instanzen (es ist der beste verfügbare TSP-Code) und kann kostenlos für akademische Forschung verwendet werden.

— Peter Shor
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Unter Verwendung der Terminologie von TSPLIB suchte ich nach SOP, nicht nach TSP. Das Multiplizieren des für TSP berechneten

mit

ergibt eine Obergrenze für SOP. Leider verarbeitet der Concorde TSP-Solver keine SOPs und ich konnte keinen SOP-Solver online finden.

E [L]

$E[L]$

(k - 1) / k

$(k-1)/k$

— Javad

Ich denke, für die Berechnung von

sind die Fälle mit größeren

und kleineren

gleichmäßig um

, so dass man einen konstruktiven Ansatz finden kann, um eine Anordnung von

Punkten im Gitter zu finden was (vielleicht ungefähr)

ergibt . Das Finden einer solchen Anordnung würde offensichtlich die Berechnungskosten drastisch senken.

E [L]

$E[L]$

L

$L$

L

$L$

E [L]

$E[L]$

k

$k$

E [L]

$E[L]$

— Javad

Ich habe auch den Grund für den Koeffizienten

nicht ganz verstanden . Warum sollte es nicht

? Wie ändert sich diese Näherungsformulierung für kleinere Werte von

und

k^{2}

$k^2$

k^{2} / (p q)

$k^2/(pq)$

p

$p$

q

$q$

— Javad

@ Javad: Gute Frage. Ich war falsch, weil ich irgendwie dachte

Punkte , wenn ich meine Antwort geschrieben. Der Koeffizient ergibt sich aus meiner Annahme, dass das

Gitter Kanten mit Einheitslänge hat, sodass der gesamte Bereich die Größe

. Die durchschnittliche Kante sollte die Länge

k^{2}

$k^2$

p \times q

$p\times q$

p \times q

$p \times q$

, und es gibt

Kanten. Wenn also

ungefähr konstant bleiben soll, sollte der erste Term

θ (\sqrt{p q / k})

$\theta(\sqrt{pq/k})$

k

$k$

f

$f$

\sqrt{p q k} f (k / p q)

$\sqrt{pqk} f(k/pq)$

— Peter Shor

Für

sollte der Unterschied zwischen der TSP-Länge und der SOP-Länge nahezu vernachlässigbar sein.

k \approx 10^{6}

$k \approx 10^6$

— Peter Shor