Anzahl unterschiedlicher Knoten in einer zufälligen Wanderung

Die Pendelzeit in einem zusammenhängenden Graphen ist definiert als die erwartete Anzahl von Schritten in einem zufälligen Gang, der bei i beginnt , bevor der Knoten j besucht und dann der Knoten i wieder erreicht wird. Es ist im Grunde die Summe der beiden Schlagzeiten H ( i , j ) und H ( j , i ) .$G=(V,E)$$i$$j$$i$$H(i,j)$$H(j,i)$

Gibt es etwas, das der Pendelzeit ähnlich ist (nicht genau dasselbe), aber in Bezug auf Knoten definiert ist? Mit anderen Worten, was ist die erwartete Anzahl unterschiedlicher Knoten, die ein zufälliger Spaziergang von bis zu meiner Rückkehr von i besuchen wird?$i$$i$

Update (30. September 2012): Es gibt eine Reihe verwandter Arbeiten zur Anzahl der verschiedenen Orte, die von einem zufälligen Wanderer auf einem Gitter besucht wurden (dh ). Siehe zum Beispiel: http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1?isAuthorized=no$\mathbb{Z}^n$

Hat jemand schon mal was dazu gelesen?

Anhand der Fragen und Antworten in den Kommentaren scheinen Sie daran interessiert zu sein, etwas zu untersuchen, das als Stapelabstand in dieser Reihe von Folien definiert ist: Zur mathematischen Modellierung von Caches

Definieren Sie den Stapelabstand einer Referenz als die Anzahl der eindeutigen Blockadressen zwischen der aktuellen Referenz und der vorherigen Referenz auf dieselbe Blocknummer.

Es hat einige empirische Analysen über Benchmarks. es heißt im Allgemeinen, dass es "keine bekannte Messung der Lokalität" von Cache-Anforderungen gibt, und schlägt dann die Stapelentfernung als eine solche Maßnahme vor. Es bezieht sich nicht auf die Zufallsgraphentheorie, obwohl Sie in Ihren Kommentaren einen solchen Zusammenhang skizzieren. (Es scheint, als könnte die Stapelentfernung mit dem Mischen der Markov-Kette zusammenhängen ?)

Es scheint, dass Sie daran interessiert sind, die Cache-Leistung oder Optimierungsalgorithmen zu modellieren, indem Sie Cache-Anforderungen als Knoten eines Diagramms und die Kanten als Übergänge zwischen benachbarten Anforderungen betrachten. Ich habe noch keine Artikel gesehen, die die Struktur dieses Graphen untersuchen. Aufgrund des Erfolgs von Caches in der Praxis und der in den obigen Folien als räumlich und zeitlich bezeichneten Lokalität scheint es sich nachweislich nicht um einen rein zufälligen Graphen zu handeln . dh eine Art "Clustering", wie Joe in seiner Antwort skizziert.

(Vielleicht hat es eine kleine Weltstruktur ?, die in realen Daten allgegenwärtig ist.)

Ein Kommentar: Ich habe kürzlich an einem Vortrag von Bruce Reed mit dem Titel Catching a Drunk Miscreant teilgenommen , der eine gemeinsame Arbeit mit Natasha Komorov und Peter Winkler war. Wenn Sie sich über die Ergebnisse dieser Arbeit informieren können, hilft Ihnen das möglicherweise in eine Richtung.

Im Allgemeinen beweisen sie eine Obergrenze für die Anzahl der Schritte, die ein Cop in einem allgemeinen Graphen benötigt, um einen Räuber fangen zu können, wenn wir wissen, dass sich der Räuber willkürlich entlang der Ränder bewegt.

Dies ist keine richtige Antwort auf Ihre Frage, aber für einen Kommentar etwas zu lang.

Die Menge, nach der Sie suchen, variiert von Diagramm zu Diagramm und hängt von der ursprünglichen Position des Gehers ab. Die erwartete Anzahl unterschiedlicher Zwischenknoten hängt stark von der Clusterbildung im Diagramm ab, und ich würde erwarten, dass die erwartete Anzahl unterschiedlicher Zwischenknoten mit dem Clusterbildungskoeffizienten korreliert .

Ein Cluster ist im Grunde eine Untergruppe von Scheitelpunkten, die eine große Anzahl von Kanten gemeinsam haben, so dass jeder Scheitelpunkt mit einem großen Bruchteil der anderen Scheitelpunkte innerhalb des Clusters verbunden ist. Wenn ein Walker einen Cluster betritt, bleibt er wahrscheinlich für eine große Anzahl von Hops in dieser Region und besucht möglicherweise jeden Knoten mehrmals. In der Tat ist die Verwendung von Zufallsläufen auf diese Weise eine der Berechnungstechniken, die zum Identifizieren von Clustern in großen Graphen verwendet werden. Somit wird für einen Wanderer, der in einem Cluster startet, die erwartete Anzahl unterschiedlicher Zwischenscheitelpunkte wahrscheinlich mit der Größe des Clusters und der durchschnittlichen Wahrscheinlichkeit, den Cluster zu verlassen, skaliert.

$N$$\frac{1}{N}$$N+1$

Der durchschnittliche Grad der Eckpunkte innerhalb des Diagramms spielt ebenfalls eine wichtige Rolle, obwohl dies mit der Clusterbildung zusammenhängt. Der Grund dafür ist, dass der Wanderer, wenn er auf einen Scheitelpunkt mit Grad 1 springt, beim nächsten Sprung zum vorherigen Scheitelpunkt zurückspringen muss. Selbst wenn der Grad 2 ist, gibt es nur einen Pfad, der durch den Graphen geführt werden kann, obwohl er bei jedem Sprung in beide Richtungen durchlaufen werden kann. Auf der anderen Seite kann bei Graphen mit einem Grad über 2 die Anzahl der Pfade explodieren, was es äußerst unwahrscheinlich macht, zur ursprünglichen Stelle zurückzukehren, selbst wenn der kürzeste Pfad dazwischen klein ist.

Daher würde man erwarten, dass die Anzahl der unterschiedlichen Zwischenscheitelpunkte für Diagramme hoch ist, die beide einen Durchschnittsgrad von deutlich über 2 aufweisen und auch keine signifikante Häufung aufweisen, wie z. B. Bäume.

Natürlich gelten diese Kommentare nicht mehr für Quanten-Random-Walks, aber ich denke, Sie interessieren sich nur für den klassischen Fall.