Einseitige Fehler in probablistischen Beweissystemen

In den meisten probabilistischen Beweissystemen (z. B. PCP-Theorem) werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten normalerweise auf der Seite der falsch-positiven Ergebnisse definiert, dh eine typische Definition könnte folgendermaßen aussehen: Wenn ist, akzeptiert der Prüfer immer, aber in In anderen Fällen beträgt die Wahrscheinlichkeit einer Ablehnung mindestens 1/2.$x \in L$

Gibt es ein Problem damit, dass der Fehler auf der anderen Seite auftritt? Das bedeutet, dass der Prüfer immer ablehnt, wann er sollte, und nur einen konstanten Fehler macht, wenn er akzeptieren muss. Eine andere offensichtliche Möglichkeit besteht darin, den Fehler auf beiden Seiten zuzulassen. Entsprechen diese Definitionen den normalerweise angegebenen? Oder verhalten sie sich anders? Oder gibt es ein echtes Problem, die Fehler auf der anderen Seite zuzulassen?

Das Zulassen von Vollständigkeitsfehlern ist kein Problem und wird häufig in Betracht gezogen. Hier sind einige Hinweise .

Auf der anderen Seite wird im Allgemeinen die Leistung eines Modells erheblich verringert, wenn ein Fehler bei der Unzulässigkeit nicht zugelassen wird.

Bei interaktiven Proofsystemen macht das Nichtzulassen von Soliditätsfehlern die Interaktion unbrauchbar, mit Ausnahme der Einwegkommunikation von einem Prüfer zu einem Prüfer. Das heißt, IP mit perfekter Solidität ist gleich NP. Dies kann gezeigt werden, indem eine NP-Maschine betrachtet wird, die die zufälligen Bits des Verifizierers und das Transkript der Interaktion errät, die den Verifizierer dazu bringt, [FGMSZ89] zu akzeptieren.

Im Fall von PCP-Systemen (Probabilistic Checkable Proof) zeigt dieselbe Überlegung, dass das Erfordernis einer perfekten Solidität die Zufälligkeit für die Auswahl der abzufragenden Standorte unbrauchbar macht. Genauer gesagt kann gezeigt werden, dass PCP ( r ( n ), q ( n )) mit Vollständigkeit c ( n ) und perfekter Solidität (auch bei adaptiven Abfragen) gleich der Klasse C der Entscheidungsprobleme A = ( A _ja , A _nein ) für die es eine Sprache B ⊆ {0,1} * × {0,1} * × {0,1} * in P gibt, so dass

• wenn x ∈ A _ja , dann ist Pr _{y ∈ {0,1} ^{r ( n )}} [∃ z ∈ {0,1} ^{q ( n ),} so dass ( x , y , z ) ∈ B ] ≥ c ( n ), und
• wenn x ∈ A _{nein ist} , dann ist ∀ y ∈ {0,1} ^{r ( n )} ∀ z ∈ {0,1} ^{q ( n )} , ( x , y , z ) ∉ B ,

wobei n = | x |. (Beachten Sie, dass in der Definition der Klasse C für den Fall yes nicht die Erstellung eines vollständigen Zertifikats erforderlich ist, bevor der Prüfer die zufällige Zeichenfolge y auswählt , im Gegensatz zur üblichen Definition eines PCP-Systems. Ein Zertifikat kann nach Kenntnis von y und erstellt werden nur der abgefragte Abschnitt des Zertifikats erforderlich ist, weshalb die Länge von z ist q ( n .)) in Kombination mit einfachen Untergrenzen, impliziert dies die folgende:

• PCP (log, log) mit perfekter Solidität = P.
• PCP (Poly, Log) mit perfekter Solidität = RP .
• PCP (Poly, Poly) mit perfekter Solidität = NP.

Wenn wir diese mit den PCP-Theoremen PCP (log, O (1)) = NP und PCP (poly, O (1)) = NEXP vergleichen, können wir sehen, dass das Erfordernis einer perfekten Solidität einen großen Einfluss hat.

[FGMSZ89] Martin Fürer, Oded Goldreich, Yishay Mansour, Michael Sipser und Stathis Zachos. Zur Vollständigkeit und Solidität in interaktiven Proofsystemen. In Randomness and Computation , vol. 5 of Advances in Computing Research , S. 429–442, 1989. http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/PS/fgmsz.ps