Verschluss-Ordnungszahlen für induktive Typen mit Funktionsräumen

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Functors aus endlichen Produkte gebaut und Summen haben Schließung Ordnungs , in schön detailliert diesem Manuskript von Francois Metayer. dh wir können den induktiven Typ durch Iteration des Funktors , der nach Iterationen seinen festen Punkt erreicht . $\omega$ $nat := \mu X. 1 + X$ $1 + X$ $\omega$

Aber sobald wir eine konstante Potenzierung zulassen, wie in , reicht nicht mehr aus. $\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$ $\omega$

Ich suche nach Ergebnissen, die Potenzierung beinhalten. Welche Ordnungszahlen sind ausreichend?

Insbesondere wäre eine Referenz ersichtlich , daß stellt einen Beleg dafür , dass ein solche functors sind -Continuous für einige ordinal wie in dem obigen Manuskript. $\alpha$ $\alpha$

lo.logic type-theory ct.category-theory

— Andrew Cave
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Die Antwort auf Ihre Frage hängt von mehreren Faktoren ab, von denen die wichtigste die Größe Ihrer Funktionsräume ist . Ich erkläre es. Definieren Wie Sie in Ihrer Antwort erwähnt, jede kann in Betracht gezogen werden intern die zu - ten regelmäßige Kardinal Ihres Systems. In der Mengenlehre kann dieser Datentyp durch eine tatsächliche Ordnungszahl dargestellt werden und ist entsprechend groß.

O_{0} = n a t

$O_0 = nat$

O_{n + 1} = μ X . 1 + X + (O_{n} \to X)

$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$

O_{n}

$O_n$

n

$n$

Solche Konstruktionen können jedoch zu einer Version der Typentheorie hinzugefügt werden, und die Frage lautet: Welche Ordnungszahl wird benötigt, um diesem Konstrukt eine satztheoretische Interpretation zu geben? Wenn wir uns nun auf die konstruktive Semantik beschränken, besteht eine natürliche Idee darin, zu versuchen, jeden Typ durch die Menge von "Realisierern" dieses Typs zu interpretieren, die eine Teilmenge der Menge von Termen oder äquivalent der natürlichen Zahlen . $\lambda$ $\mathbb{N}$

In diesem Fall ist es leicht zu zeigen, dass die Ordnungszahl für jedes ist, diese Ordnungszahl jedoch sehr schnell wächst. Wie schnell? Dies hängt wiederum von der Freiheit ab, die Sie beim Erstellen von Funktionen haben. Die Theorie zum Aufbau solcher Ordnungszahlen ist in der Theorie der großen zählbaren Ordnungszahlen beschrieben, von der Wikipedia überraschenderweise viel zu sagen hat. Im Allgemeinen ist es leicht zu zeigen, dass die fraglichen Ordnungszahlen kleiner sind als die Church-Kleene-Ordnungszahl , es sei denn, Sie erlauben nicht konstruktive Mittel zum Erstellen von Funktionen (z. B. , der die Anzahl der beschäftigten Biber für Maschinen mit Zuständen berechnet ). $O_n$ $Beaver(n)$ $n$

Dies sagt jedoch nicht viel aus, außer dass Sie in einer konstruktiven Theorie nur konstruktive Ordnungszahlen benötigen, um Interpretationen zu erstellen. Es gibt jedoch noch ein bisschen mehr zu sagen. Erstens gibt es eine sehr schöne Präsentation von Thierry Coquand , in der $nat$ detailliert beschrieben wird, dass Sie in genau Schritten können, für alle anderen Typen außer kein Eliminator vorhanden ist . $O_1$ $\epsilon_0$

Im Allgemeinen scheint es eine Entsprechung zwischen der logischen Stärke einer Typentheorie und der Größe der größten Ordnungszahl zu geben, die sie auf diese Weise darstellen kann. Diese Entsprechung ist Gegenstand der Ordnungsanalyse , die seit Ende der sechziger Jahre eingehend untersucht wurde und bis heute untersucht wird (mit einigen erstaunlichen offenen Fragen). Achtung: Das Thema ist ebenso technisch wie faszinierend.

Hoffe das hilft.

— Cody
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Ich glaube, ich habe eine Antwort gefunden, die in Kategorien wie Set ausreichend funktioniert. Es ist Satz 3.1.12 in Anfangsalgebren und Endkohlegebren: eine Umfrage von Adamek, Milius und Moss.

Die Antwort ist, dass keine Ordnungszahl für all diese Funktoren ausreicht. Sie werden beliebig groß.

$F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$ $A_i$ $\alpha$ $\beta < \alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

$\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

$f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$ $A_k \rightarrow F^j(0)$ $j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$ $j < \alpha$ $\alpha$ $|A_k| < \alpha$

$(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$ $k$

$+$ $\times$ $F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$ $\alpha$

$A_k$

— Andrew Cave
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