Es gibt Fälle, in denen die Symmetrien eines Problems seine Komplexität charakterisieren (scheinen). Ein sehr interessantes Beispiel sind Constraint-Zufriedenheitsprobleme (CSPs).
Definition von CSP
UΓkUk{ 0 , 1 }VΓφ : V→ U so dass alle Bedingungen erfüllt sind.
ΓU{ 0, 1 }ΓkU{ 0 , 1 }
Polymorphismen
ϕ1, … , Φtf: Ut→ Uϕϕ ( v ) = f( ϕ1( v ) , … , ϕt( v ) )ft
f( x , y, z) = x + y+ z( mod2 )f( x , x , y) = f( y, x , x ) = yf , das diese Eigenschaft erfüllt, wird als Maltsev-Operation bezeichnet. CSPs mit Maltsev-Polymorphismus sind durch Gauß-Eliminierung lösbar.
f( x , y) = x
Polymorphismen und Komplexität (die Dichotomie-Vermutung)
Γ1Γ2Γ1Γ2Γ2Γ1 in der Tat schwieriger ist.
Ein großes offenes Problem in der Komplexitätstheorie ist die Charakterisierung der Härte von CSPs. Die Dichotomie-Vermutung von Feder und Vardi besagt, dass jeder CSP entweder P- oder NP-vollständig ist. Die Vermutung lässt sich auf eine Aussage über Polymorphismen reduzieren: Ein CSP ist genau dann NP-hart, wenn die einzigen Polymorphismen, die er zulässt, "Diktatoren" sind (ansonsten ist es in P). Das heißt, ein CSP ist nur dann schwierig, wenn es vor Ort keine Möglichkeit gibt, aus alten Lösungen echte neue Lösungen zu bilden. Der if-Teil (Härte) ist bekannt, aber der einzige if-Teil (Entwurf eines Polytime-Algorithmus) ist offen.
U= { 0 , 1 }
Um mehr über Polymorphismen, Universalalgebra und die Dichotomie-Vermutung zu erfahren, schauen Sie sich die Umfrage von Bulatov an .
Polymorphismen und Approximierbarkeit
Ich empfehle auch einen IAS-Vortrag von Prasad Raghavendra, in dem er sein Ergebnis präsentiertunter der Annahme der Vermutung, dass es sich um ein einzigartiges Spiel in einem ähnlichen Rahmen handelt, eine optimale Approximierbarkeit jedes CSP zu erzielen. Wenn alle Polymorphismen (die zur Behandlung von Approximationsproblemen verallgemeinert werden müssen) eines CSP in der Nähe von Diktatoren liegen, kann mit dem CSP eine Möglichkeit entworfen werden, um zu testen, ob eine Funktion ein Diktator ist Sei alles, was du brauchst, um eine Annäherungsverringerung von einzigartigen Spielen zu erreichen. Dies gibt die Richtung der Härte seines Ergebnisses an; Die algorithmische Richtung ist, dass, wenn ein CSP einen Polymorphismus hat, der weit von einem Diktator entfernt ist, man ein Invarianzprinzip (Verallgemeinerung zentraler Grenzwertsätze) verwenden kann, um zu argumentieren, dass ein SDP-Rundungsalgorithmus eine gute Annäherung ergibt. Eine wirklich skizzenhafte Intuition für den algorithmischen Teil: Ein Polymorphismus, der weit von einem Diktator entfernt ist. Es ist egal, ob es sich um Argumente (eine Verteilung über) Variablenzuweisungen oder um Gauß-Zufallsvariablen handelt, die sich lokal einer Verteilung über Variablenzuweisungen annähern. Dies ist die gleiche Weise, wie es eine Summenfunktion "nicht interessiert", wenn sie diskrete Zufallsvariablen mit kleiner Varianz oder Gaußsche rvs mit derselben Varianz gemäß dem zentralen Grenzwertsatz erhält. Die benötigten Gaußschen Zufallsvariablen können aus einer SDP-Relaxation des CSP-Problems berechnet werden. Also finden wir einen Polymorphismus, der weit von einem Diktator entfernt ist, füttern ihn mit den Gaußschen Proben und erhalten eine gute Lösung zurück. wenn es diskrete Zufallsvariablen mit kleiner Varianz oder Gaußsche rvs mit derselben Varianz nach dem zentralen Grenzwertsatz gibt. Die benötigten Gaußschen Zufallsvariablen können aus einer SDP-Relaxation des CSP-Problems berechnet werden. Also finden wir einen Polymorphismus, der weit von einem Diktator entfernt ist, füttern ihn mit den Gaußschen Proben und erhalten eine gute Lösung zurück. wenn es diskrete Zufallsvariablen mit kleiner Varianz oder Gaußsche rvs mit derselben Varianz nach dem zentralen Grenzwertsatz gibt. Die benötigten Gaußschen Zufallsvariablen können aus einer SDP-Relaxation des CSP-Problems berechnet werden. Also finden wir einen Polymorphismus, der weit von einem Diktator entfernt ist, füttern ihn mit den Gaußschen Proben und erhalten eine gute Lösung zurück.