Komplexität beim Zählen von Pfaden in einem Diagramm

Bei einem gerichteten Graphen mit n Knoten, bei dem jeder Scheitelpunkt genau zwei ausgehende Kanten hat, und einer natürlichen Zahl N, die binär codiert ist, zwei Scheitelpunkte s und t,

Ich möchte die Anzahl der (nicht unbedingt einfachen) Pfade von s bis t innerhalb von N Schritten zählen.

Ist das ein # P-hartes Problem? Oder allgemein, wie komplex ist dieses Problem?

cc.complexity-theory graph-theory counting-complexity

— maomao
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Haben Sie versucht, die Matrix mit Strom zu versorgen?

— Yuval Filmus

ja, aber die komplexität ist meines erachtens noch nicht bekannt.

— Maomao

Muss die Wanderung um t enden oder muss sie nur irgendwann auf der Wanderung besucht werden?

— Tyson Williams

es muss bei t enden.

— Maomao

@Geekster Für den vollständigen Digraphen auf 3 Eckpunkten mit

ist die Zählung die N-te Fibonacci-Zahl, deren Größe in N exponentiell ist, so wie David in seiner Antwort für jedes Diagramm argumentiert hat.

s \neq t

$s \ne t$

— Tyson Williams

Antworten:

Die ausgegebene Anzahl von Pfaden kann (wählen Sie willkürlich und wählen Sie dann als den Scheitelpunkt, der der Endpunkt der größten Anzahl von Schritten von ), der erfordert. $\Omega(2^N/n)$ $s$ $t$ $2^N$ $s$ $\Omega(N)$ Bits zum expliziten Aufschreiben; Dies ist in der Eingabegröße exponentiell. Andererseits weist der Matrix-Potenzierungsansatz ein Komplexitätspolynom in der Summe der Eingabe- und Ausgabegrößen auf. Das scheint es also genau in die Klasse der Zählprobleme zu ordnen, die eine Ausgabe in Exponentialgröße haben und in ihrer Ausgabegröße deterministisch in Zeitpolynomen gelöst werden können definitiv nicht #EXP (analog zu NEXP).

— David Eppstein
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danke, aber ich möchte immer noch wissen, ob dieses problem

hart ist.

♯ P

$\sharp P$

— Maomao

Um die großen Zahlen in Davids iteriertem Quadrierungsansatz zu vermeiden, können wir alle Berechnungen modulo einer Primzahl p durchführen. Dann läuft der Gesamtalgorithmus im Zeitpolynom in

. Wenn das Problem unter polynomial-zeitlich sparsamen Viel-Eins-Reduktionen # P-schwer wäre, würde der Algorithmus mit

P =

P implizieren , was wir nicht glauben.

n + \log N + \log p

$n + \log N + \log p$

p = 2

$p=2$

\oplus

$\oplus$

— Holger

@Holger gäbe es nicht ein ähnliches Argument für die Permanent? das heißt , wenn permanent # P-hard dann Perm 2 mod wäre

P hart. Aber Perm mod 2 = Det mod 2, der in P.

\oplus

$\oplus$

— SamiD

@SamiD: Genau, dein Argument zeigt, dass die bleibende Karte unter sparsamen Reduktionen wahrscheinlich nicht # P-hart ist . Die bekannten Beweise verwenden Turing-Reduktionen.

— Holger

Ich stimme zu. Tut mir leid, ich hatte den sparsamen One- Part verpasst . Daher kann das Matrix-Powering-Powering-Problem unter Turing-Reduktionen durchaus # P-hart sein.

— SamiD

Das Finden eines Bits von wobei die Adjazenzmatrix des gegebenen Graphen ist, reduziert sich auf das Problem das zuerst in [ABKPM] definiert wurde und dessen untere Grenze in demselben Papier festgelegt ist. Es ist jedoch offen, ob die Reduktion in der umgekehrten Richtung gilt, dh von bis zum Matrixversorgungsproblem. $A^N[s,t]$ $A$ $\mathsf{BitSLP}$ $\#\mathsf{P}$ $\mathsf{BitSLP}$

Beachten Sie, dass genau innerhalb der Zählhierarchie . Die bekannteste Obergrenze für dieses Problem, nämlich. ist von hier . $\mathsf{BitSLP}$ $\mathsf{CH} \subseteq \mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$

— SamiD
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Das Problem ist # P-vollständig. Betrachten Sie das Problem des Zählens der kürzesten Pfade in einem Diagramm (ND31 in Garey & Johnson), das für die Zählversion # P-vollständig ist. Lesen Sie den Kommentar sorgfältig durch. Dies gibt die Antwort für Wege der Länge . Um die Antwort für Pfade mit der Länge , rufen Sie das Problem der kürzesten Pfade für und und subtrahieren Sie letztere von ersteren, dh führen Sie eine subtraktive Reduktion durch. $\leq N$ $=N$ $\leq N$ $\leq N-1$

Da die Reduzierung von #HAMILTONIAN PATHS / CIRCUITS auf #SHORTEST PATHS auch für 3-reguläre Diagramme funktioniert, funktioniert das Ergebnis der # P-Vollständigkeit auch für die Einschränkung von Digraphen mit einem Grad von . $\leq 2$

— Miki Hermann
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Das ursprüngliche Problem erfordert nicht, dass der Pfad einfach ist, daher denke ich nicht, dass die Antwort richtig ist.

— Maomao

Wie kann es # P-vollständig sein, wenn alle #P-Probleme eine Anzahl von Lösungen haben, die in der Eingabegröße exponentiell sind und diese doppelt exponentiell ist?

— David Eppstein

Was bedeutet "ND31" im Kontext von Gareys und Johsons Buch?

— Tyson Williams