Erzeugen eines Punktes in einem rationalen Polytop

Betrachten Sie ein rationales Polytop , das mittels eines Trennungsorakels definiert wird. Das heißt, P kann implizit beschrieben werden als P = { x ∈ R k : A x ≤ b , A ∈ Z m × k , b ∈ Z m } , aber da m sehr groß ist, verwenden wir ein Orakel, das a gegeben ist Punkt x ∈ R k sagt entweder x ∈ P oder gibt einen halben Raum zurück, so dass x ∉ $P$$P$$P = \{x \in R^k: Ax \leq b, A \in Z^{m \times k}, b \in Z^m \}$$m$$x \in R^k$$x \in P$$x \notin S$.

Mein Ziel ist es, einen Punkt in zu finden oder festzustellen, dass P leer ist. Ich strebe eine polynomielle Laufzeit in der Darstellungsgröße von U und k an , wobei U der größte absolute Wert in A ist . Das heißt, der Algorithmus sollte nur viele Polynome für das Trennungsorakel verwenden.$P$$P$$U$$k$$U$$A$

Im Allgemeinen kann in einer Hyperebene niedrigerer Dimension enthalten sein, und daher ist es problematisch, die Ellipsoidmethode zu verwenden. Also ändere ich wie in Khachiyans Trick P (und das Trennungsorakel), um P ϵ zu verwenden , wobei ϵ so etwas wie 1 / U ist . Intuitiv sind die Halbräume, die P ϵ definieren, dieselben wie diejenigen, die P definieren, nur dass sie durch ϵ übersetzt werden . Das Polytop P ϵ hat die folgenden Eigenschaften: P ϵ ist leer, wenn P leer ist, und wenn P nicht leer ist,$P$$P$$P^\epsilon$$\epsilon$$1/U$$P^\epsilon$$P$$\epsilon$$P^\epsilon$$P^\epsilon$$P$$P$ ist volldimensional.$P^\epsilon$

Meine Frage lautet wie folgt: Angenommen, der Algorithmus findet einen Punkt . Ist es möglich, mit p einen Punkt in P zu erzeugen ?$p \in P^\epsilon$$P$$p$

Von einem beliebigen Wahl eines Polytops in R k , ε , und ein Punkt Q in R k ist es möglich , ein Polytop zu finden P in R k + 1 , zusammen mit einer Einbettung von R k in R k + 1 ist , so dass P ist innerhalb & egr; Hausdorff - Abstand von (das eingebettete Bild) P und derart , dass (das eingebettete Bild) q gehört P$P$${\mathbb R}^k$$\epsilon$$q$${\mathbb R}^k$$\hat P$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$${\mathbb R}^{k+1}$$\hat P$$\epsilon$$P$$q$$\hat P^\epsilon$. Um dies zu tun, stellen einfach die Facetten P fast auf das eingebettete Bild von parallelen werden R k , so daß sie durch Translation ε in R k + 1 bewirkt , daß ihr Schnitt mit R k bewegen , weg von P durch eine viel größere Entfernung .$\hat P$${\mathbb R}^k$$\epsilon$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$$\hat P$

Da willkürlich war, nützt die Kenntnis von q nichts, um einen Punkt in oder in der Nähe von P zu finden . Alles, was Sie damit machen konnten, konnten Sie auch ohne machen. Aber, da P und P so nahe sind, einen Punkt in der Nähe zu finden , P entspricht einen Punkt in der Nähe zu finden , P . Daher ist die Kenntnis von q (ein Punkt in P ε ist) keinen Nutzen in einem Punkt in der Nähe zu finden , P .$q$$q$$P$$\hat P$$P$$P$$\hat P$$q$$\hat P^\epsilon$$\hat P$

$P$$P$

$H$

$x$$0^k$

1. $x$

2. $x \in P$

3. $S$$y$$x$$S$

   • $T \in H$$y \not \in T$$P$
   • $H := H \cup \{S\}$$x := y$

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