Farbliche Komplexität von Diagrammen

Angenommen, ist eine Grafik mit der Farbzahl . Betrachten Sie das folgende Spiel zwischen Alice und Bob. In jeder Runde wählt Alice einen Scheitelpunkt und Bob antwortet mit einer Farbe in für diesen Scheitelpunkt. Das Spiel endet, wenn eine monochromatische Kante entdeckt wird. Sei die maximale Länge des Spiels bei optimalem Spiel beider Spieler (Alice möchte das Spiel so weit wie möglich verkürzen, Bob möchte es so weit wie möglich verzögern). Zum Beispiel ist und . $G$ $d = \chi(G)$ $\{1,\ldots,d-1\}$ $X(G)$ $X(K_n) = n$ $X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n)$

Ist das Spiel bekannt?

— Yuval Filmus
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Ich denke, Sie können dies als ein Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiel modellieren .

— Tyson Williams

es scheint in hohem Maße mit gierigen Farbalgorithmen für Graphen zu tun zu haben, oder?

— Davon

Warum benutzt du d − 1? Ich halte es für natürlicher, das Spiel sowohl durch den Graphen G als auch durch die Anzahl k der zulässigen Farben zu parametrisieren und die analoge Größe X (G, k) zu berücksichtigen. Natürlich gewinnt Bob, wenn k ≥ wins (G) ist, und daher sollte in diesem Fall X (G, k) entweder als ∞ oder n + 1 definiert werden.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: ist eine willkürliche Wahl, um zu maximieren . In der Anwendung, an die ich denke, ergibt keinen Sinn.

k = d - 1

$k = d-1$

X (G)

$X(G)$

k \geq χ (G)

$k \geq \chi(G)$

— Yuval Filmus

@Tyson: Tatsächlich ist die Entscheidungsbaumkomplexität des Spiels, in dem wir bei einer Färbung von eine verletzte Kante finden wollen.

X (G)

$X(G)$

d - 1

$d-1$

G

$G$

— Yuval Filmus

Es sieht ziemlich ähnlich aus

Zufallsgraphen online einfärben, ohne monochromatische Untergraphen zu erstellen (Reto Spöhel, Torsten Mütze und Thomas Rast) Tagungsband des 22. jährlichen ACM-SIAM-Symposiums für diskrete Algorithmen (SODA '11), PR 137, 145-158.

— adrianN
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