Ungefährer Grad von

BEARBEITEN (v2): Am Ende wurde ein Abschnitt hinzugefügt, der beschreibt, was ich über das Problem weiß.

EDIT (v3): Diskussion zum Schwellenwert am Ende hinzugefügt.

Frage

Diese Frage ist hauptsächlich eine Referenzanfrage. Ich weiß nicht viel über das Problem. Ich möchte wissen, ob bereits an diesem Problem gearbeitet wurde, und wenn ja, kann mich jemand auf Artikel verweisen, die sich mit diesem Problem befassen? Ich möchte auch die derzeit besten Grenzen für den ungefähren Grad von $\textrm{AC}^0$ . Alle anderen Informationen sind ebenfalls erwünscht (z. B. historische Informationen, Motivation, Beziehung zu anderen Problemen usw.).

Definitionen

Sei eine Boolesche Funktion. Sei ein Polynom über den Variablen bis mit reellen Koeffizienten. Der Grad eines Polynoms ist der maximale Grad über alle Monome. Der Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten der verschiedenen , die in diesem Monom vorkommen. Zum Beispiel ist . $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $p$ $x_1$ $x_n$ $x_i$ $\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

Man sagt, dass ein Polynom -approximiert if für alle . Die -approximate Grad einer Booleschen Funktion , bezeichnet als ist der minimale Grad eines Polynoms , dass -approximates . Für eine Reihe von Funktionen gilt , $p$ $\epsilon$ $f$ $|f(x)-p(x)|<\epsilon$ $x$ $\epsilon$ $f$ $\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$ $\epsilon$ $f$ $F$ $\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$ ist der minimale Grad so dass jede Funktion in durch ein Polynom von höchstens -approximiert werden kann . $d$ $F$ $\epsilon$ $d$

Es ist zu beachten, dass jede Funktion fehlerfrei durch ein Polynom vom Grad werden kann. Einige Funktionen benötigen tatsächlich ein Polynom vom Grad , um sich einem konstanten Fehler anzunähern. Parität ist ein Beispiel für eine solche Funktion. $n$ $n$

Problemstellung

Was ist ? (Die Konstante 1/3 ist beliebig.) $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$

Anmerkungen

Ich bin auf dieses Problem in der Arbeit The Quantum Query Complexity of AC0 von Paul Beame und Widad Machmouchi gestoßen. Man sagt

Unsere Ergebnisse schließen auch nicht die Lücke in der unteren Schranke des ungefähren Grades der AC0-Funktionen.

Sie erwähnen auch "das Problem des ungefähren Grades von AC0" in ihren Bestätigungen.

Ich gehe also davon aus, dass dieses Problem bereits bearbeitet wurde. Kann mich jemand auf ein Papier verweisen, das über das Problem spricht? Und was sind die bekanntesten Ober- und Untergrenzen?

Was ich über das Problem weiß (Dieser Abschnitt wurde in Version 2 der Frage hinzugefügt)

Die bekanntesten obere auf gebunden , das weiß , ist die triviale obere Schranke . Die beste untere Schranke I Know kommt von Aaronson und Shi unteren Schranke für die Kollision und das Element Unterscheidbarkeit Probleme, die aus gebundenen einem unteren gibt . (Für stark eingeschränkte Versionen von , wie z. B. Formeln mit der Formelgröße oder Tiefenzirkel mit $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$ $n$ $\tilde{\Omega}(n^{2/3})$ $\textrm{AC}^0$ $o(n^2)$ $o(n^2)$ können wir eine -Obergrenze unter Verwendung der Komplexität von Quantenabfragen beweisen .) $o(n)$

Verwandte: Schwellenwert (Hinzugefügt in v3)

Wie Tsuyoshi in den Kommentaren ausführt, hängt dieses Problem mit dem Problem der Bestimmung des Schwellengrads von . Der Schwellengrad einer Funktion ist der minimale Grad eines Polynoms so dass $\textrm{AC}^0$ $f$ $p$ und $f(x)=1 \implies p(x)>0$ . $f(x)=0 \implies p(x)<0$

Die unteren Grenzen für den Schwellenwert von wurden jetzt von Sherstov verbessert. Er zeigt eine Familie von einmal lesbaren Formeln mit konstanter Tiefe für Variablen, deren Schwellengrad sich nähert $\mathrm{AC}^0$ $n$ wenn die Tiefe gegen unendlich geht, was fast eng ist, da einmal gelesene Formeln einen Schwellenwert (und sogar einen ungefähren) Grad $\Omega(\sqrt{n})$ . Siehehttp://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/. (Januar 2014) $O(\sqrt{n})$

— Robin Kothari
quelle

Eine untere Schranke Ω (n ^ (1/3)) ist selbst für den Schwellengrad (den Minimalgrad eines Polynoms p mit f (x) = 1 ⇒ p (x)> 0 und f (x) = 0 ⇒ bekannt p (x) <0). Siehe das Ende von Abschnitt 3.1 von „Kommunikationsuntergrenzen unter Verwendung von Doppelpolynomen“ von Sherstov .

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Danke. Interessant ist auch der Schwellengrad (der den ungefähren Grad unterschreitet) von AC0. Die besten Untergrenzen, die ich für den Schwellenwert von AC0 kenne, befinden sich in New-Degree-Schranken für polynomiale Schwellenwertfunktionen von O'Donnell und Servedio. Die Untergrenze ist um einen logarithmischen Faktor besser als Ω (n ^ (1/3)), der mit der Tiefe der Schaltung wächst.

— Robin Kothari

Hoppla, Sie haben Recht, die

zur Angleichung Grad für AC0 untere Grenze liegt auf der Hand von Aaronson und Shi. Wie dumm von mir. Danke auch für den Hinweis auf O'Donnell und Servedio.

\tilde{Ω} (n^{2 / 3})

$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$

— Tsuyoshi Ito

Ein kürzlich veröffentlichter Artikel von Mark Bun und Justin Thaler mit dem Titel "Härteverstärkung und der ungefähre Grad von Schaltkreisen mit konstanter Tiefe" erörtert dieses Problem ebenfalls kurz. Sie sagen, dass die untere Schranke von Aaronson und Shi die bekannteste untere Schranke für eine Funktion in AC <sup> 0 </ sup> ist und diese untere Schranke sogar in einem etwas allgemeineren Modell gilt.

— Robin Kothari

Kürzlich (Mitte März 2017) wurde ein Artikel von Mark Bun und Justin Thaler auf ECCC veröffentlicht, der genau diese Frage beantwortet: "Eine nahezu optimale Untergrenze für den ungefähren Grad von AC0".

$\delta > 0$ $f$ $\mathrm{AC}^0$ $\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$ $O(n)$

$f$ $d$ $F$ $O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$ $D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$ $d = n^{1−Ω(1)}$ $D$ $d$ $f$ $F$

Dies ist das neueste Update am unteren Ende dieses Problems, und es ist ein bedeutender Fortschritt. Die Abschnitte "Einführung" und "Anwendung" des Dokuments sind ebenfalls gute Quellen für Referenzen zu früheren Arbeiten und verwandten Problemen.

Haftungsausschluss: Ich habe die Zeitung noch nicht sorgfältig gelesen.

— EIN
quelle

Ω (n^{1 - δ})

$\Omega(n^{1-\delta})$