Dreiecke in der Ebene lernen

Ich habe meinen Schülern das Problem zugeteilt, ein Dreieck zu finden, das mit einer Ansammlung von Punkten in übereinstimmt , die mit . (A Dreieck ist konsistent mit der markierten Probe , wenn alle positiven und keines der negativen Punkte enthält, durch Annahme, die Probe zugibt mindestens 1 konsistente Dreieck). $m$ $\mathbb{R}^2$ $\pm1$ $T$ $T$

Das Beste, was sie (oder ich) tun können, ist ein Algorithmus, der in der Zeit abläuft , wobei die Stichprobengröße ist. Kann jemand es besser machen? $O(m^6)$ $m$

— Aryeh
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Um es klar zu sagen: Die Eckpunkte des Dreiecks müssen nicht unbedingt Punkte der Sammlung sein, oder? Und es ist akzeptabel, negative Punkte an der Grenze zu haben?

— ex0du5

(1) Ich hatte dafür gestimmt, die Frage zu schließen, weil ich das Problem falsch verstanden hatte. Das System erlaubt mir nicht, meine Abstimmung abzubrechen, aber ich annulliere sie praktisch. (2) Ich glaube, es gibt einen O (m log m) -Zeitalgorithmus, aber ich habe momentan keine Zeit, ihn zu verifizieren. Die Idee besteht darin, die konvexe Hülle der positiven Beispiele zu berechnen und um diese konvexe Hülle herumzuwischen, um drei Linien zu finden, die das gewünschte Dreieck bilden.

— Tsuyoshi Ito

@ ex0du5 - In der Tat müssen die Eckpunkte des Dreiecks nicht aus den Abtastpunkten bestehen. Grenzprobleme können hier ignoriert werden, da sie unwesentlich sind. [Wenn die Grenze als Teil des Dreiecks zählt, haben Sie keine negativen Punkte an der Grenze.]

— Aryeh

@TsuyoshiIto: Ich dachte ähnlich, aber es gibt Fälle, in denen die Kanten des Dreiecks nicht kollinear zu den Kanten des konvexen Rumpfs sein können, aber immer noch ein Dreieck vorhanden ist. Das Dreieck enthält offensichtlich immer noch die konvexe Hülle, aber es erweitert nicht nur die Linien der Hülle und findet das Dreieck. Möglicherweise benötigen Sie Linien, die um einige Scheitelpunkte gedreht werden, um die negativen Punkte zu vermeiden. Aus diesem Grund habe ich nach Negativen an der Grenze gefragt, um einen Suchalgorithmus zu ermöglichen, der Linien von den Scheitelpunkten des Rumpfs zu Negativen auswählt, um eine diskrete Suche zu ermöglichen.

— ex0du5

@ ex0du5: Nun, ich habe nicht angenommen, dass die Kanten des Dreiecks parallel zu einigen Kanten der konvexen Hülle der positiven Beispiele sind.

— Tsuyoshi Ito

Antworten:

Wie @TsuyoshiIto vorschlägt, gibt es für dieses Problem aufgrund von Edelsbrunner und Preparata einen -Zeitalgorithmus. Tatsächlich findet der Algorithmus ein konvexes Polygon mit der minimal möglichen Anzahl von Kanten, die die beiden Punktmengen trennen. Sie beweisen auch eine Untergrenze von für das allgemeinere Problem im algebraischen Entscheidungsbaummodell; Es ist jedoch nicht klar, ob diese Untergrenze für den Dreiecksfall gilt. $O(n\log n)$ $\Omega(n\log n)$

Eine vollständige Beschreibung des Algorithmus ist zu lang, um hier veröffentlicht zu werden, aber hier ist die Grundidee. Sei die konvexe Hülle der positiven Punkte. Betrachten Sie für jeden negativen Punkt die Linien durch , die tangieren . Diese Linien teilen die Ebene in vier Keile, von denen einer enthält ; sei der Keil gegenüber demjenigen, der enthält . Schließlich sei (die "verbotene Region") die Vereinigung aller Keile . Jedes trennende Dreieck muss von trennen $C$ $q$ $q$ $C$ $C$ $W(q)$ $C$ $F$ $W(q)$ $C$ $F$ . Sowohl als auch können in Zeit konstruiert werden. $C$ $F$ $O(n\log n)$

Beispiel für $ C $ und $ F $

Beschriften Sie die Kanten von abwechselnd im und gegen den Uhrzeigersinn. Edelsbrunner und Preparata beweisen ferner, dass es ein trennendes Dreieck gibt, dessen Kanten kollinear mit den Kanten von im Uhrzeigersinn sind . In zusätzlicher Zeit können wir die (notwendigerweise im Uhrzeigersinn) Kante von zuerst von einem Strahl von jeder Kante im Uhrzeigersinn getroffen wird ; Nennen Sie diese Kante den "Nachfolger" von $F$ $F$ $O(n)$ $F$ $e$ $e$ . Die Nachfolgezeiger unterteilen die Ränder im Uhrzeigersinn in Zyklen. Wenn es ein trennendes Dreieck gibt, hat einer dieser Nachfolgezyklen die Länge 3 (und keiner hat eine Länge von mehr als 4).

Weitere Informationen finden Sie im Originaldokument:

Herbert Edelsbrunner und Franco P. Preparata. Minimale polygonale Trennung . Information and Computation 77 (3): 218–232, 1988.

— Jeffε
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Es scheint mir, dass es ausreicht, Tangentenlinien von den '-1'-Punkten auf die konvexe Hülle der' +1'-Punkte als Kandidaten für die Seiten von (sagen wir, dass '+1'-Punkte innerlich sind zu $T$ $T$ ).

$t$ $A$ $B$ $t$ $BC$ $B$ $C$ ist der Tangentenpunkt).

$t$

$t$ mit allen anderen Linien.
$A$ $B$ $t'$ $A$ $ABC$ $AB$ $BC$ $A$ $C$
$t'$

$O(m^2)$

— Shalabuda
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