Durchschnittliche Verzerrungseinbettungen

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$(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

Es gibt jedoch auch andere Qualitätsmaßstäbe: Dhamdhere et al. Untersuchen die "durchschnittliche" Verzerrung:

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

Das Maß, an dem ich hier interessiert bin, wird jedoch von MDS-ähnlichen Methoden verwendet, bei denen der durchschnittliche additive Fehler betrachtet wird:

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

Obwohl MDS-ähnliche Methoden außerhalb der theoretischen CS-Community ausführlich untersucht werden, ist mir nur ein Artikel ( von Dhamdhere et al. ) Bekannt, der die Optimierung unter dieser Maßnahme untersucht, und dies auch für das begrenzte Problem der Einbettung in die Linie ( ) (Randnotiz: Tasos Sidiropoulos ' MS-Arbeit von 2005 enthält einen schönen Rückblick auf frühere Arbeiten) $Y = \mathbb{R}$

Gibt es neuere Arbeiten, die den Menschen hinsichtlich strenger Qualitätsanalysen unter diesem Begriff des Fehlers bekannt sind? Während diese Probleme im Allgemeinen NP-schwer sind, interessieren mich eher Annäherungen jeglicher Art.

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— Suresh Venkat
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3

Das ist eine schöne Frage. Ich kenne keine Approximationsalgorithmen, aber die bekannten Härteergebnisse für die Approximation der minimalen Verzerrung (und damit verbundene Probleme wie die Kennzeichnung von Metriken) sollten auch zeigen, dass schwer zu approximieren ist. $\epsilon^2$

Der Grund ist, dass sie eine Reduktion von einem NP-harten Problem ergeben, so dass im JA-Fall die Verzerrung und im NEIN-Fall die Verzerrung für mindestens einen konstanten Bruchteil der Kanten . Daher ist im JA-Fall ein Faktor kleiner als im NEIN-Fall. Einzelheiten finden Sie beispielsweise in dem Artikel von Khot-Saket: www.cs.cmu.edu/~rsaket/pubs/approx.pdf $O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

Ich bin mir nicht ganz sicher, welcher Härtefaktor sich aus ihrem Papier ergibt, aber es sollte nicht schwierig sein, dies herauszufinden. (Ich würde vermuten, dass mindestens der -Faktor, den Sie für die Kennzeichnung von Metriken erhalten, folgen sollte.) $\log^c(n)$

— Moritz
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Das ist ein guter Vorschlag. Ich werde mich auf jeden Fall mit der Kennzeichnung von Metriken befassen. Es ist bekannt, dass selbst das Einbetten in die Linie MAX SNP-schwer ist, aber es wäre interessant (wenn auch enttäuschend), stärkere Ergebnisse zu sehen.

— Suresh Venkat

2

Ich könnte etwas vermissen, aber warum ist ? Wir sind an einer additiven Approximation interessiert, daher können wir nicht skalieren, um für alle , oder? $\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

Ein Vorteil dabei ist, dass wir auf kurzen Strecken schlecht abschneiden können und letztendlich in Ordnung sind. Ist das Problem auch einfach (auch zu approximieren), wenn wir beispielsweise in einbetten möchten ? (Können wir ein mathematisches Programm schreiben, um die Frage zu erfassen?) $\ell_2$

— aditya
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Guter Punkt. Ich habe meine Antwort geändert.

— Moritz

es hängt von der Formulierung ab. Wenn Sie das Problem als Minimierung von für einen festdimensionalen Zielunterraum darstellen, verursachen die Rangbeschränkungen einige Probleme. Wenn Sie die Formulierung im JL-Stil verwenden (dh den Fehler beheben und die richtige Dimensionalität finden), ist möglicherweise etwas machbar.

ϵ

$\epsilon$

— Suresh Venkat

Eine Größe, die nützlich sein kann, um "gegen" zu konkurrieren, ist . Betrachten Sie das Problem der Einbettung in (ich habe früher vorgeschlagen, aber es hat das chaotische sqrt). Wir müssen eindeutig darauf abzielen Einbettungen zu erzielen, wobei (in einem vagen Sinn, das heißt , wir sind aus multiplikativ für die meisten . Können wir eine solche Einbettung erhalten für, sagen wir (konstanter Grad) Expander? (oder beweisen, dass es nicht möglich ist?)

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$

— Aditya