Varianten direkter Produktsätze

Ein direkter Produktsatz besagt informell, dass das Berechnen von Instanzen einer Funktion f schwieriger ist als das einmalige Berechnen von f .$k$$f$$f$

Typische direkte Produktsätze (z. B. Yaos XOR-Lemma) betrachten die Komplexität im Durchschnitt und argumentieren (sehr grob), dass $f$ nicht durch Schaltungen der Größe $s$ mit einer Wahrscheinlichkeit besser als p berechnet werden kann $p$, dann können $k$ Kopien von $f$ nicht durch berechnet werden Schaltungen der Größe $s' < s$ mit einer Wahrscheinlichkeit besser als $p^k$ .

Ich suche nach verschiedenen Arten direkter Produktsätze (sofern bekannt). Speziell:

(1) Nehmen wir an, wir legen die Fehlerwahrscheinlichkeit und interessieren uns stattdessen für die Größe der Schaltung, die zur Berechnung von Kopien von . Gibt es ein Ergebnis, das besagt, dass wenn nicht durch Schaltungen der Größe mit einer Wahrscheinlichkeit besser als berechnet werden kann , Kopien von nicht mit einer Wahrscheinlichkeit besser als Verwendung einer Schaltung der Größe kleiner als berechnet werden können ?$p$$k$$f$$f$$s$$p$$k$$f$$p$$O(k \cdot s)$

(2) Was ist in Bezug auf die Komplexität im schlimmsten Fall bekannt ? Wenn nicht durch Schaltungen der Größe (mit 0 Fehlern) berechnet werden kann , was können wir über die Komplexität der Berechnung von Kopien von (mit 0 Fehlern) sagen ?$f$$s$$k$$f$

Alle Referenzen wäre dankbar.

(1): Diese Frage wurde in der Arbeit "Auf dem Weg zum Nachweis starker direkter Produktsätze" von Ronen Shaltiel untersucht, und es stellt sich heraus, dass eine solche Vermutung falsch ist: Zum Beispiel könnte es sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von berechnet werden kann mit einer Größe, die viel kleiner als , und nur die zusätzliche Wahrscheinlichkeitsmasse von erfordert die Größe . In einem solchen Fall könnte die Schaltung beim Berechnen von auf Instanzen auf den meisten Instanzen mit einer Größe lösen, die viel kleiner als , und benötigt nur auf wenigen Instanzen die Größe .$f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

(2): Ein direkter Produktsatz für die Worst-Case-Komplexität ist für Formeln und für monotone Schaltungen bekannt, für allgemeine Schaltungen jedoch als falsch bekannt. Betrachten Sie als einfaches Beispiel eine Funktion , die ihre Eingabe als Vektor betrachtet und mit einer festen Booleschen Matrix multipliziert . Dann kann das Berechnen der Funktion die Größe erfordern , aber das Berechnen auf Instanzen kann viel schneller als Verwendung eines Matrixmultiplikationsalgorithmus erfolgen. Eine ausführliche Diskussion dieses Themas finden Sie im Buch "Die Komplexität der Booleschen Funktionen" von Ingo Wegener - siehe Kapitel 10.2 hier:$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ .

Um die Antwort von Or zu ergänzen, wurden Fragen zum Geschmack von (1) [wie viel einer Ressource benötigt wird, um auf k Kopien gut abzuschneiden] untersucht, und die entsprechenden Theoreme werden "direkte Summensätze" genannt. Wie bei direkten Produktsätzen können direkte Summensätze je nach Aufbau gelten oder auch nicht.