Parametrisierter Algorithmus zum Auffinden von Fahrrädern

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Eine gegebene Vertex ungerichteten Graphen, was ist das bekannteste Laufzeit für gebundene finden einen Untergraphen , die eine -biclique? Gibt es schneller parametrisierte Algorithmen als den -Zeitalgorithmus zum "Erraten" einer Seite des Fahrrads und zum Überprüfen, ob es mindestens andere Eckpunkte gibt, die auf alle von ihnen zutreffen ? $n$ $k\times k$ $\binom{n}{k}\mbox{poly}(n)$ $k$

— Andreas Björklund
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Durch Entartung oder Arborizität parametrisiert, ist es FPT. Genauer gesagt, wobei die Entartung ist (oder für Arboricity). Sehen: $O(d^3 2^d n)$ $d$ $a^3 2^{2a}$

Arboricity- und bipartite-Subgraph-Listing-Algorithmen. D. Eppstein. Inf. Proc. Lette. 51: 207 & ndash; 211, 1994 .

Ein weiteres parametrisiertes Papier wurde gerade für SWAT 2012 angenommen , diesmal parametrisiert durch die längste induzierte Pfadlänge:

Aistis Atminas, Vadim Lozin und Igor Razgon: Linearer Zeitalgorithmus zur Berechnung eines kleinen Fahrrads in Graphen ohne lange induzierte Pfade. SWAT 2012 erscheint.

Ich verstehe jedoch, dass es ein großes offenes Problem ist, ob dies eine FPT ist oder nicht, und zwar mit dem natürlichen Parameter (der Größe des Fahrrads).

— David Eppstein
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Vielen Dank, David. Beachten Sie, dass ich mich nicht nur frage, ob es sich um FPT handelt, sondern ob es etwas Besseres gibt als den von mir skizzierten naiven Algorithmus. Insbesondere ist das Finden anscheinend einfacher als das Zählen.

— Andreas Björklund

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Die folgenden Artikel bieten Exponential-Zeit-Algorithmen für das nicht induzierte Biklique-Problem und sind möglicherweise für Sie von Interesse:

Daniel Binkele-Raible, Serge Gaspers, Henning Fernau, Mathieu Liedloff: Exakte Exponential-Zeit-Algorithmen zum Auffinden von Bikliken . Inf. Prozess. Lette. 111 (2): 64-67 (2010)
Jean-François Couturier, Dieter Kratsch: Zweifarbige Independent Sets
und Bikliques . Inf. Prozess. Lette. 112 (8-9): 329-334 (2012)

— Limath
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Diese Näherung von B. Ames und S. Vavasis ( http://arxiv.org/pdf/0901.3348.pdf ) "Minimierung der Kernnormen für die Probleme mit bepflanzten Cliquen und Bikliquen" findet ein Biclique für einen bestimmten Typ von Graphen in Poly- Zeit, hat aber keine allgemeinen Annäherungsgarantien.

Die Autoren fassen das Biklique-Problem unter affinen Bedingungen auf eine Rangminimierung um. Anschließend lösen sie eine Relaxation mit einer Nuklearnorm-Heuristik, die als SDP gestellt werden kann. Diese Heuristik ist ein ziemlich aufregendes Gadget für die komprimierten Erfassungsutensilien. Diese Entspannung lässt normalerweise einige nette Optimalitätsbedingungen zu, wenn der Satz von Nebenbedingungen eine "geeignete Art" von Zufälligkeit aufweist.

— Dimitris
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-1

$n^{o(k)}$

— Elad
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Ich denke nicht, dass diese Reduzierung funktioniert. Wenn Ihr ursprüngliches Diagramm bereits ein großes Fahrrad enthält, hat das Diagramm, das Sie daraus erstellen (seine zweigeteilte doppelte Abdeckung), immer noch dasselbe Fahrrad, und es wird maskiert, ob das ursprüngliche Diagramm auch eine Clique enthält oder nicht.

— David Eppstein