Ist das Problem der Rückkopplungsscheitelpunktmenge auf ebenen, begrenzten Gradgraphen schwierig?

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Ist bekannt, ob das Problem der Rückkopplungsscheitelpunktmenge auf ungerichteten planaren Graphen mit begrenztem Grad -hart ist? $\mathsf{NP}$

— Marc
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Laut dem Buch von Garey und Johnson ist Vertex Cover auf planaren Graphen mit maximalem Grad vier NP-vollständig. Die Verwendung einer einfachen Reduktion von Vertex Cover zu Feedback Vertex Set sollte einen maximalen Wert von acht ergeben und die Planarität bewahren.

VC zu FVS: Ersetzen Sie jede Kante durch ein Dreieck (oder eine doppelte Kante).

Eine Anmerkung: Garey und Johnson geben auch an, dass die gerichtete FVS auf planaren Digraphen mit einem In- oder Out-Grad von nicht mehr als zwei NP-vollständig ist. Sie erwähnen nicht ausdrücklich ungerichtete FVS unter solchen Einschränkungen.

— Stefan Kratsch
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Die Antwort lautet: FVS ist auf ungerichteten planaren Graphen mit maximalem Grad NP-vollständig ; bewiesen von Speckenmeyer, siehe hier . Indem Sie jede Kante durch einen neuen Scheitelpunkt unterteilen, folgt dies auf einfache Weise $4$

FVS ist auch auf ungerichteten zweigliedrigen planaren Graphen mit maximalem Grad NP-vollständig . $4$

Die Gradbeschränkung ist am besten möglich, da FVS für Graphen mit maximalem Grad höchstens drei Polynome ist. siehe hier .

Edit: Ernst de Ridders graphclasses.org enthält jetzt alle verfügbaren Informationen über FVS; Darunter ca. 550 polynomisch lösbare und ca. 250 NP-c-Fälle.

— vb le
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Würden Sie mir bitte mehr über die Reduzierung erklären, die mir alles andere als klar ist? Ich habe keine Speckenmeyer-These zur Hand (auch ich hatte, ich werde kein Deutsch verstehen können). Aber ich habe das von Ihnen erwähnte Papier, das sich jedoch nur auf seine These bezieht. Andererseits weiß ich, dass es für allgemeine Graphen mit maximalem Grad 4 NP-schwer ist, wie Romeo Rizzi doi.org/10.1007/s00453-007-9112-8 zeigt . Vielen Dank!

— Yixin Cao

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Laut Wikipedia haben Garey & Johnson auch gezeigt, dass "die Vertex-Abdeckung NP-vollständig bleibt ... auch in planaren Graphen mit höchstens Grad 3."

Somit ist FVS für planare Graphen mit maximalem Grad 6 schwierig.

— 101011
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Anscheinend zeigt er in Speckenmeyers Doktorarbeit, dass das Problem der Rückkopplungsscheitelpunktmenge für Graphen mit maximalem Grad 4 NP-schwer ist. Diese Behauptung erscheint hier zum Beispiel.

Für kubische Graphen scheint das Problem in der Polynomzeit lösbar zu sein. Erstens zeigt Speckenmeyer , dass für kubische Graphen die minimale Größe des Feedback-Vertex gleich ist $n/2-z(G)+1$ , wo $n$ ist die Anzahl der Eckpunkte und $z$ ist die Größe der größten nicht trennenden unabhängigen Menge. Huang und Liu zeigen, dass für kubische Graphen, $z(G)$ ist gleich der maximalen Gattung von $G$ , die mit dem Algorithmus von Furst, Gross und McGeoch in Polynomialzeit berechnet werden kann .

Edit: habe die Bearbeitung von vb le nicht sorgfältig genug untersucht ...

— Timothy Sun.
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