Ausführen eines BPP-Algorithmus mit einer halb zufälligen, halb konträren Zeichenfolge

Betrachten Sie das folgende Modell: Eine n-Bit-Zeichenfolge r = r ₁ ... r _n wird gleichmäßig zufällig ausgewählt. Als nächstes wird jeder Index i∈ {1, ..., n} mit einer unabhängigen Wahrscheinlichkeit 1/2 in eine Menge A gesetzt. Schließlich darf ein Gegner für jedes i∈A einzeln r _i umdrehen, wenn er möchte.

Meine Frage lautet: Kann die resultierende Zeichenfolge (nennen Sie es r ') von einem RP- oder BPP-Algorithmus als einzige Quelle für Zufälligkeiten verwendet werden? Angenommen, der Gegner kennt den gesamten BPP-Algorithmus, die Zeichenfolge r und die Menge A im Voraus und hat eine unbegrenzte Rechenzeit. Nehmen Sie auch (offensichtlich) an, dass der BPP-Algorithmus weder die Flip-Entscheidungen des Gegners noch A kennt.

Mir ist bewusst, dass es eine lange Reihe von Arbeiten zu genau dieser Art von Fragen gibt, von Umesh Vaziranis Arbeiten zu halbzufälligen Quellen (einem anderen, aber verwandten Modell) bis zu neueren Arbeiten zu Extraktoren, Fusionen und Kondensatoren. Meine Frage ist also einfach, ob eine dieser Arbeiten das ergibt, was ich will! Die Literatur zu schwachen Zufallsquellen ist so umfangreich, dass jemand, der diese Literatur kennt, mir wahrscheinlich viel Zeit sparen kann. Danke im Voraus!

Was Sie brauchen , ist ein „entkernt Extraktor“ mit den folgenden Parametern: Samen der Länge , rohe Zufälligkeit n / 2 und Ausgabelänge n Ω ( 1 ) . Diese sind bekannt. Obwohl ich mit den neuesten Umfragen nicht auf dem neuesten Stand bin, glaube ich, dass Abschnitt 3 von Ronens Umfrage ausreicht.$O(\log n)$$n/2$$n^{\Omega(1)}$

$2^{-n/2}$

Darf der Gegner den gesamten String r sehen, bevor er entscheidet, wie die Bits in A gesetzt werden? Wenn die Antwort nein ist, handelt es sich um eine bitfixierende Quelle, die tatsächlich deterministisch extrahierbar ist. Das heißt, es ist kein wirklich zufälliger Samen erforderlich. Siehe zum Beispiel Kamp und Zuckerman für Konstruktionen von Extraktoren für bitfixierende Quellen.

Wenn der Gegner den Rest des Strings sehen darf, würde ich immer noch vermuten, dass er deterministisch extrahierbar ist, aber die Modelle sind leicht unterschiedlich und ich weiß nicht genau, wie sie sich verhalten. Da die Menge A zufällig ist, ist sie sogar noch freundlicher als eine Bitfixing-Quelle, bei der die Menge A willkürlich sein kann.

Noam hat natürlich recht. In der Vergangenheit wurde die erste BPP-Simulation mit einer Quelle einer konstanten Entropierate in meinem Aufsatz "Simulieren von BPP mit einer allgemein schwachen Zufallsquelle" angegeben. Jetzt gibt es einfachere Wege, um dies zu erreichen, und noch bessere Ergebnisse.

Eine deterministische Extraktion von mehr als einer konstanten Anzahl von Bits ist in Ihrem Modell nicht möglich. (Sie können eine schwache deterministische Extraktion von 1 Bit erzielen, indem Sie einfach das erste Bit ausgeben.) Kamp und ich haben gezeigt, dass es unmöglich ist, mehr als eine konstante Anzahl von Bits in einer allgemeinen, nicht vergessenen Bitfixing-Quelle mit konstanter Entropierate zu extrahieren. Da jedoch die Menge A zufällig ist, gelten diese Ergebnisse nicht wie angegeben. Unser Beweis arbeitete jedoch, indem wir A zufällig mit einer festen Größe t wählten. Wenn wir also t = 0,6 n wählten, folgt beispielsweise das Ergebnis für ein gleichmäßig zufälliges A.