Darstellung von nicht planaren Graphen mit überlappenden Kreisen

Wir wissen, dass wir jeden ebenen Graphen durch eine Reihe von Kreisen in der Ebene darstellen können, die als Münzgraphen bekannt sind . Jeder Kreis stellt einen Scheitelpunkt dar und es gibt eine Kante zwischen zwei Scheitelpunkten, wenn sich die Kreise an ihrer Grenze "küssen".

Angenommen, wir lassen stattdessen zu, dass sich die Kreise überlappen, und stellen eine Kante durch ein Paar Kreise dar, die sich in ihrem Inneren schneiden. Welche Klasse von Graphen können wir in diesem Modell darstellen? Es ist klar, dass wir vollständige Graphen darstellen können (jeder Kreis schneidet jeden anderen Kreis). Können wir alle Graphen so darstellen?

Der endgültige Artikel ist ein Aufsatz von Hlineny und Kratochvil aus dem Jahr 2001. Darin zeigen sie, dass das Problem der Erkennung eines Scheibenkreuzungsgraphen (Ihre Frage) NP-schwer ist, was darauf hindeutet, dass es schwierig sein wird, eine saubere Charakterisierung zu finden. Sie weisen auch darauf hin, dass $K_{3,3}$ nicht als Schnittmenge von Scheiben dargestellt werden kann und beantworten den anderen Teil Ihrer Frage.

$n$$n^{3n} \cdot \Theta(1)^n$ nnnΘ(1)nnΘ(1)nCnCnc,C>$2^{{n\choose 2}}$$n$$n^n \Theta(1)^n$$n$
$\Theta(1)^n$$c^n$$C^n$$c,C > 0$.)

@ David: Danke, dass du meine Arbeit erwähnt hast!
Mir ist auch kein Artikel bekannt, der die Reduktion auf die existentielle Theorie der Realzahlen (ERT) für beliebige Plattengraphen leistet. In einer anderen Arbeit mit McDiarmid haben wir jedoch eine Konstruktion zum "Einbetten" von Linienanordnungen in ein Scheibendiagramm angegeben, die mit einigen zusätzlichen Arbeiten in Anlehnung an das, was wir in der Arbeit mit Kang gemacht haben, zu einem Vollständigkeitsnachweis für ERT werden könnte.

Tobias Müller