Baumbreite und Verpackung

Meine Frage ist etwas vage. Ich habe mich gefragt, ob (und wie) wir den Begriff der Baumbreite auf Packprobleme in Grafiken anwenden können.

Ich würde mich über Erkenntnisse oder Referenzen früherer Forschungsarbeiten zu diesem Thema freuen (vorausgesetzt, es handelt sich um eine Beziehung). Vielen Dank.

Ich kann diese Frage auf zwei verschiedene Arten interpretieren:

1) Wenn es um algorithmische Eigenschaften von Packungsproblemen auf Graphen mit begrenzter Baumbreite geht, zeigt der Satz von Courcelle, dass wir für jedes feste Probleme, die in der monadischen Logik zweiter Ordnung ausgedrückt werden können, in linearer Zeit auf Graphen mit Baumbreite von höchstens k optimal lösen können (siehe zum Beispiel) http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037$k$$k$für eine Übersicht über die algorithmischen Eigenschaften von Graphen mit begrenzter Baumbreite). Da in MSOL viele Packungsprobleme formuliert werden können, beweist dies die Nachvollziehbarkeit vieler solcher Probleme in Graphen mit begrenzter Baumbreite, einschließlich Independent Set, Triangle Packing, Cycle Packing, Packing Vertex / Edge Disjoint-Kopien eines festen Graphen, Packing Vertex-Disjoint Minor-Modelle eines festen Graphen H und so weiter. Da sich diese Nachvollziehbarkeit jedoch auf alle MSOL-definierbaren Probleme erstreckt, ist sie nicht spezifisch für die Verpackung.

2) Wenn es um graphisch-strukturelle Beziehungen zwischen Packungen und Baumbreite geht, könnte Folgendes von Interesse sein. Dank der Arbeit von Robertson und Seymour ist bekannt, dass es eine Funktion so dass jeder Graph mit einer Baumbreite von mindestens f ( r ) ein r × r- Gitter als Moll enthält (die ursprüngliche Grenze für f ist gegeben durch Seymour und Robertson wurden später in Zusammenarbeit mit Thomas verbessert (siehe http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732 für die aktuell beste Bindung). Wenn Sie also eine Struktur S haben, so dass viele Kopien von $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f(r)$$r \times r$$f$$S$$S$kann in ein Gittermoll gepackt werden , dann wissen Sie, dass jeder Graph mit großer Baumbreite eine große Packung von Kopien von S enthält . Da beispielsweise ein r × r- Gitter (für gerade r ) ( r / 2 ) 2 Scheitelpunkt-disjunkte Zyklen enthält, folgt, dass ein Graph der Baumbreite f ( r ) mindestens ( r / 2 ) 2 disjunkte Zyklen enthält.$r \times r$$S$$r \times r$$r$$(r/2)^2$$f(r)$$(r/2)^2$

Das maximale Problem der unabhängigen Menge ist ein Packungsproblem (man kann es als Packung disjunkter Sterne betrachten), und es hat einen bekannten Algorithmus mit einer Laufzeit von in Graphen mit einer Baumbreite von höchstens k .$2^k \operatorname{poly(n)}$$k$

Eine wunderbare Referenz zu diesem Thema ist Bruce Reeds Umfrage-Artikel unten.

Reed, B. (1997). Baumbreite und Verwicklungen: Eine neue Konnektivitätsmaßnahme und einige Anwendungen. Umfragen in der Kombinatorik, 241, 87-162.

Eine meiner jüngsten Arbeiten erlaubt es, den Satz der gitterminderjährigen Sprache in einigen Fällen über die Zerlegungssätze der Baumbreite zu umgehen. Siehe Papier unten.

Zerlegungen und Anwendungen von Graphen mit großer Baumbreite http://arxiv.org/abs/1304.1577

Dies ist auch eine vage Antwort. Es gibt eine Dualität ähnlich dem Erdos-Posa-Theorem für Graphen mit begrenzter Baumbreite. Siehe zum Beispiel Fedor V. Fomin, Saket Saurabh, Dimitrios M. Thilikos: Stärkung der Erdös-Pósa-Eigenschaft für kleinere geschlossene Graphklassen. Journal of Graph Theory 66 (3): 235 & ndash; 240 (2011)