Implikationen der Nichtprovabilität von

Ich las " Ist P gegen NP formal unabhängig? ", Aber ich wurde verwirrt.

Es ist weit verbreitet in der Komplexitätstheorie glaubt , dass $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ . Meine Frage ist, was ist, wenn dies nicht nachweisbar ist (sagen wir in $ZFC$ ). (Nehmen wir an, wir finden nur heraus, dass $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ unabhängig von $ZFC$ aber keine weiteren Informationen darüber, wie dies bewiesen wird.)

Was bedeutet diese Aussage? Genauer,

Härte

Unter der Annahme , dass die $\mathsf{P}$ - Capture die effiziente Algorithmen ( Cobham-Edmonds These ) und $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ , wir beweisen $\mathsf{NP\text{-}hardness }$ Ergebnisse implizieren , dass sie über die Gegenwart hinaus Reichweite unserer effizienten Algorithmen sind. Wenn wir die Trennung, beweisen $\mathsf{NP\text{-}hardness}$ bedeutet , dass es kein Polynomialzeitalgorithmus ist. Aber was bedeutet ein Ergebnis bedeutetwenn die Trennung nicht beweisbar ist? Was passiert mit diesen Ergebnissen?$\mathsf{NP\text{-}hardness }$

effiziente Algorithmen

Bedeutet die Unbeweisbarkeit der Trennung, dass wir unsere Definition effizienter Algorithmen ändern müssen?

Ihre Frage könnte besser formuliert werden: "Wie würde sich die Komplexitätstheorie auf die Entdeckung eines Beweises auswirken, dass P = NP formal unabhängig von einem starken axiomatischen System ist?"

Es ist ein wenig schwierig, diese Frage abstrakt zu beantworten, dh wenn die Details des Beweises nicht gesehen werden. Wie Aaronson in seiner Arbeit erwähnt, würde der Nachweis der Unabhängigkeit von P = NP radikal neue Ideen erfordern, nicht nur in Bezug auf die Komplexitätstheorie, sondern auch in Bezug auf den Nachweis von Unabhängigkeitserklärungen. Wie können wir die Folgen eines radikalen Durchbruchs vorhersagen, dessen Form wir derzeit nicht einmal erraten können?

Dennoch gibt es einige Beobachtungen, die wir machen können. Im Gefolge des Beweises der Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von ZFC (und später von ZFC + großen Kardinälen) ist eine beträchtliche Anzahl von Personen zu dem Standpunkt gelangt, dass die Kontinuumshypothese weder wahr noch falsch ist . Wir könnten fragen, ob die Leute in ähnlicher Weise zu dem Schluss kommen, dass P = NP nach einem Unabhängigkeitsbeweis "weder wahr noch falsch" ist (aus Gründen der Argumentation nehmen wir an, dass P = NP unabhängig von ZFC + ist, egal wie groß Kardinalaxiom). Ich vermute nicht. Aaronson sagt im Grunde, dass er nicht würde. Goedels 2. Unvollständigkeitssatz hat niemanden, den ich kenne, dazu gebracht zu argumentieren, dass "ZFC konsistent ist" weder wahr noch falsch ist.Aussage, und die meisten Menschen haben eine starke Intuition, dass arithmetische Aussagen - oder zumindest arithmetische Aussagen so einfach wie "P = NP" - entweder wahr oder falsch sein müssen. Ein Unabhängigkeitsbeweis würde nur so interpretiert werden, dass wir keine Möglichkeit haben zu bestimmen, welcher von P = NP und P NP der Fall ist.$\ne$

Man kann sich auch fragen, ob die Leute diesen Zustand so interpretieren würden, dass sie uns sagen, dass mit unseren Definitionen von P und NP etwas "falsch" ist. Vielleicht sollten wir dann die Grundlagen der Komplexitätstheorie mit neuen Definitionen wiederholen, mit denen man besser arbeiten kann? Ich denke, wir befinden uns derzeit im Bereich wilder und unfruchtbarer Spekulationen, in denen wir versuchen, Brücken zu überqueren, die wir noch nicht erreicht haben, und Dinge zu reparieren, die noch nicht kaputt sind. Darüber hinaus ist nicht einmal klar, dass irgendetwas passieren würdein diesem Szenario "kaputt" sein. Mengenlehre-Theoretiker sind vollkommen glücklich, wenn sie annehmen, dass große Kardinal-Axiome ihnen zusagen. Ebenso könnten Komplexitätstheoretiker in dieser hypothetischen zukünftigen Welt vollkommen glücklich sein, wenn sie Trennungsaxiome annehmen, die sie für wahr halten, auch wenn sie nachweislich nicht beweisbar sind.

Kurz gesagt, aus einem Unabhängigkeitsnachweis von P = NP folgt logischerweise nicht viel . Das Gesicht der Komplexitätstheorie mag sich angesichts eines solch fantastischen Durchbruchs radikal ändern, aber wir müssen nur abwarten, wie der Durchbruch aussieht.

Dies ist eine berechtigte Frage, auch wenn sie vielleicht etwas unglücklich formuliert ist. Die beste Antwort, die ich geben kann, ist diese Referenz:

Scott Aaronson: Ist P gegen NP formal unabhängig . Bulletin der Europäischen Vereinigung für Theoretische Informatik, 2003, vol. 81, Seiten 109-136.

Abstract: Dies ist eine Umfrage über die Titelfrage, die für Personen geschrieben wurde, die (wie der Autor) Logik als verbietend, esoterisch und fern von ihren üblichen Anliegen betrachten. Ausgehend von einem Crashkurs über die Mengenlehre von Zermelo Fraenkel wird die Unabhängigkeit von Orakeln erörtert. natürliche Beweise; Unabhängigkeitsergebnisse von Razborov, Raz, DeMillo-Lipton, Sazanov und anderen; und Hindernisse, um P vs. NP unabhängig von starken logischen Theorien zu beweisen. Es endet mit einigen philosophischen Überlegungen, wann man erwarten sollte, dass eine mathematische Frage eine definitive Antwort hat.

$[ZFC][1]$. Es bedeutet einfach, dass die Theorie weder die Aussage noch ihre Negation beweisen kann. Es bedeutet nicht, dass die Aussage keinen Wahrheitswert hat, es bedeutet nicht, dass wir den Wahrheitswert der Aussage nicht kennen können, wir könnten neue vernünftige Axiome hinzufügen, die die Theorie stark genug machen, um in der Lage zu sein die Aussagen oder ihre Verneinung zu beweisen. Am Ende ist Beweisbarkeit in einer Theorie ein formaler abstrakter Begriff. Es bezieht sich auf unsere reale Erfahrung nur als Modell.

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$$\Pi_1$Topologie über Logik ", 1996.)

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\Sigma_2$, und durchsuchen Sie die Beiträge in der FOM-Mailingliste .

Wie in diesem Papier bewiesen:

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

Wenn gezeigt werden kann, dass P! = NP unabhängig von der Peano-Arithmetik ist, hat NP extrem nahe an der polynomdeterministischen Zeitobergrenze. In einem solchen Fall gibt es insbesondere einen DTIME (n ^ 1og * (n)) - Algorithmus, der SAT in unendlich vielen großen Intervallen von Eingabelängen korrekt berechnet.

Nur ein paar Gedanken darüber. Zögern Sie nicht zu kritisieren.

Sei Q = [kann nicht beweisen (P = NP) und kann nicht beweisen (P / = NP)]. Angenommen, Q ist ein Widerspruch. Ich gehe auch davon aus, dass alle bekannten Entdeckungen über P vs NP noch möglich sind. Insbesondere sind alle NP-Probleme in dem Sinne äquivalent, dass Sie, wenn Sie eines davon in Polynomzeit lösen können, alle anderen in Polynomzeit lösen können. Also sei W ein NP-vollständiges Problem; W repräsentiert gleichermaßen alle Probleme in NP. Wegen Q kann man keinen Algorithmus A erhalten, um W in der Polynomzeit zu lösen. Ansonsten haben wir den Beweis, dass P = NP ist, was Q (1) (*) widerspricht. Beachten Sie, dass alle Algorithmen per Definition berechenbar sind. Zu sagen, dass A nicht existieren kann, bedeutet, dass es keine Möglichkeit gibt, W in der Polynomzeit zu berechnen. Dies widerspricht jedoch Q (2). Wir müssen entweder (1) oder (2) ablehnen. Jeder Fall führt zu einem Widerspruch. Also ist Q ein Widerspruch,

(*) Sie könnten sagen: "Aha! A könnte existieren, aber wir können es einfach nicht finden." Nun, wenn A existiert, können wir alle Programme durchlaufen, um A zu finden, indem wir von kleineren Programmen zu größeren Programmen zählen, beginnend mit dem leeren Programm. A muss endlich sein, weil es ein Algorithmus ist. Wenn also A existiert, muss das Aufzählungsprogramm, um es zu finden, enden.