Kann der Beweis durch Widerspruch ohne das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte funktionieren?

Ich habe kürzlich über die Gültigkeit von Beweisen durch Widerspruch nachgedacht. Ich habe in den letzten Tagen Dinge über intuitionistische Logik und Godels Theoreme gelesen, um zu sehen, ob sie mir Antworten auf meine Fragen geben würden. Im Moment habe ich noch Fragen (vielleicht im Zusammenhang mit dem neuen Material, das ich lese) und ich hatte gehofft, einige Antworten zu bekommen

( WARNUNG : Sie werden gleich mit dem Lesen von Inhalten mit sehr verwirrten logischen Grundlagen fortfahren und alles mit einem Körnchen Salz nehmen. Es wird angenommen, dass dies eine Frage und keine Antwort ist. Es gibt viele Missverständnisse darin.)

Ich denke, meine Hauptfrage ist, wenn wir einmal gezeigt haben, dass nicht A zu einem Widerspruch führt, also nicht A falsch sein muss, dann schließen wir, dass A wahr sein muss. Dieser Teil macht irgendwie Sinn (besonders wenn ich das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte als etwas annehme, das Sinn macht), aber was mich stört, ist, wie ein Beweis durch Widerspruch tatsächlich auftritt. Zuerst beginnen wir mit nicht A und wenden dann nur Axiome und Folgerungsregeln an (sagen wir mechanisch) und sehen, wohin uns das führt. Es kommt normalerweise zu einem Widerspruch (sagen wir A ist wahr oder und ϕ ist wahr). Daraus schließen wir, dass nicht A falsch sein muss, also ist A wahr. Das ist gut. Aber meine Frage ist, welche Garantien haben formale Systeme dafür?$\neg \varphi$$\phi$Wenn ich das gleiche Verfahren anwenden würde, aber mit A anfangen würde, würde ich dort auch keinen Widerspruch bekommen ? Ich denke, dass es eine versteckte Annahme gibt, die durch Widersprüche bewiesen wird: Wenn derselbe Prozess in A nicht zu einem Widerspruch führen würde , welche Art von Garantien haben wir, würde das nicht passieren? Gibt es einen Beweis, der unmöglich ist? Mit anderen Worten, wenn ich eine Turning Machine (TM) (oder Super TM) hatte, die für immer lief, die alle logischen Schritte aus jedem Axiom ausprobiert hat, beginnend mit der angeblich wahren Aussage , was garantiert, dass sie NICHT ANHALTET, weil sie einen Widerspruch findet ?$A$

Ich habe dann mit Godels Unvollständigkeitssatz, der ungefähr so ​​aussieht, einige Verbindungen zu meiner vergangenen Frage hergestellt:

Ein formales System F, das Arithmetik ausdrückt, kann seine eigene Konsistenz (innerhalb von F) nicht beweisen.

Dies machte mir im Grunde klar, dass, wenn das wahr ist, es unmöglich ist, Konsistenz zu gewährleisten, dass A und nicht A nicht passieren wird. Es schien daher so, als ob der Beweis durch Widerspruch implizit davon ausgeht, dass die Konsistenz auf irgendeine Weise gewährleistet ist (andernfalls, warum würde er einfach so weitermachen und daraus schließen, dass A wahr ist, indem er beweist, dass A nicht möglich ist, wenn er diese Konsistenz nicht bereits kannte) und Widerspruch wo fein, für irgendein Paar Aussage A und nicht A)? Ist das falsch oder habe ich etwas verpasst?

Dann dachte ich, ok, lassen Sie uns einfach die Regel der ausgeschlossenen Mitte in unsere Axiome aufnehmen und dann sind alle Probleme gelöst. Aber dann wurde mir klar, warte, wenn wir das tun, definieren wir das Problem einfach weg, anstatt uns damit zu befassen. Wenn ich mein System nur zwinge, per Definition konsistent zu sein, heißt das nicht unbedingt, dass es tatsächlich konsistent ist… richtig? Ich versuche nur, diese Ideen zu verstehen, und ich bin mir nicht ganz sicher, was ich tun soll, aber das ist es, was ich nach ein paar Tagen des Lesens und Betrachtens von Videos in fast allen Aspekten dieser Konzepte, Widersprüche, exklusiven Mittel, realisiere. Intuitionistische Logik, Godels Vollständigkeits- und Unvollständigkeitssätze…

Im Zusammenhang damit scheint es im Wesentlichen unmöglich zu sein, tatsächlich direkt zu beweisen, dass etwas falsch ist, ohne die Regel der ausgeschlossenen Mitte (oder des Widerspruchs). Es scheint, dass Beweissysteme gut darin sind, wahre Aussagen zu beweisen, aber nach meinem Verständnis sind sie nicht in der Lage, direkt zu zeigen, dass die Dinge falsch sind. Vielleicht ist die Art und Weise, wie sie es tun, indirekter mit Widersprüchen (wo sie zeigen, dass etwas falsch sein muss oder schlechte Dinge geschehen) oder ausgeschlossener Mitte (wo das Wissen um den Wahrheitswert von nur einem A oder nicht A uns die Wahrheit des anderen gibt) oder Bereitstellung von Gegenbeispielen (was im Grunde zeigt, dass das Gegenteil zutrifft, so dass indirekt das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte angewendet wird). Vielleicht möchte ich wirklich einen konstruktiven Beweis dafür, dass etwas falsch ist?

Ich denke, wenn ich wissen könnte, dass wenn ich nicht beweise, dass A falsch ist (ich akzeptiere den Widerspruch), dann ist es wirklich in Ordnung und ich muss nicht alle Inferenzregeln und Axiome unendlich auf A anwenden und mir ist garantiert, dass A gewonnen hat nicht zu einem Widerspruch kommen. Wenn das wahr wäre, könnte ich den Beweis durch Widerspruch leichter akzeptieren. Ist das wahr oder kann Godels zweite Unvollständigkeit garantieren, dass ich das nicht haben kann? Wenn ich das dann nicht haben kann, ist es für mich ein Rätsel, wie es überhaupt möglich ist, dass so viele Jahre Mathematiker Mathe machen, dass wir keine Inkonsistenz gefunden haben? Muss ich mich auf empirische Nachweise der Konsistenz verlassen? Oder zum Beispiel, ich prof F ist konsistent, indem ich superF beweise F, aber da ich eigentlich nie superF und nur F brauche, kann ich mich dann nicht damit zufrieden geben, dass es wirklich funktioniert?

Mir ist gerade aufgefallen, dass sich meine Beschwerde auch auf direkte Beweise bezieht. Ok, wenn ich einen direkten Beweis von A gemacht habe, dann weiß ich, dass A wahr ist ... aber woher weiß ich, dass ich, wenn ich einen direkten Beweis von nicht A gemacht habe, auch keinen korrekten Beweis bekommen würde? Scheint die gleiche Frage nur etwas anders zu betonen ....

Sie werden gefragt (ich Ihre Frage ein wenig knackiger machen): „Welche formale Garantie gibt es , dass es nicht passieren kann , dass sowohl und p führen zu einem Widerspruch?“ Sie scheinen sich Sorgen zu machen, dass der Beweis durch Widersprüche problematisch ist, wenn die Logik inkonsistent ist. Dies ist jedoch überhaupt nicht der Fall.$\lnot p$$p$

Wenn die Logik inkonsistent ist, dann ist der Beweis durch Widerspruch nach wie vor eine gültige Argumentationsregel, aber auch die Negation und die Regel, die besagt, dass wir aus schließen können, dass Sie der nächste Papst sind. Eine Inkonsistenz in der Logik macht nichts ungültig: Im Gegenteil, sie macht alles ungültig !$1 + 1 = 2$

Es gibt noch eine weitere mögliche Verwirrungsquelle: Der Titel Ihrer Frage kann so verstanden werden, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte besagt, dass die Logik konsistent ist. Das ist falsch. Die Konsistenz der Logik beträgt „es ist nicht der Fall ist , dass sowohl eine Aussage und ihre Negation Beweise haben“, während ausgeschlossen Mitte die Regel , die uns Aussagen der Form zu beweisen ermöglicht .$p \lor \lnot p$

Ergänzend: Ich verstehe nicht, warum diese Frage so viel Diskussion hervorruft. Ich habe Probleme, das eigentliche Dilemma zu verstehen, und soweit ich das beurteilen kann, ergibt sich die Frage aus einem Missverständnis. Wenn jemand die Frage klären kann, bin ich dankbar. Außerdem möchte ich nur auf folgende Punkte aufmerksam machen:

1. Widerspruchsbeweis und ausgeschlossene Mitte sind einander gleichwertig, so dass der Titel, wie geschrieben, unsinnig ist. Natürlich können wir eins nicht ohne das andere haben, sie sind gleichwertig.

2. Nach dem, was ich aus der langen Diskussion in dieser Frage verstehen kann, scheint das OP zu sagen oder zu beunruhigen, dass eine Inkonsistenz in der Logik einen Beweis ungültig macht. Dies ist falsch, wie ich oben ausgeführt habe. Ich würde eine Art Antwort vom OP begrüßen: Kann das OP sehen, dass eine Inkonsistenz in der Logik (dh, dass es in der Lage ist, alles zu beweisen) keine Beweise ungültig macht?

3. $p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$

4. Das OP hält es für "unmöglich, ohne ausgeschlossene Mitte direkt zu beweisen, dass etwas falsch ist". Er verwechselt Negationsbeweis und Widerspruchsbeweis, die nicht dasselbe sind . Der verlinkte Beitrag enthält zahlreiche Beispiele für konstruktive Beweise, dass etwas falsch ist. Tatsächlich sind die meisten Beweise, dass etwas falsch ist, die in Lehrbüchern gefunden werden, bereits konstruktiv.

5. $G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

PS Ich entschuldige mich für die vorherige Version des Supplementals, die unhöflich war.

Ich denke, Ihre Frage lautet: "Wenn ich eine formale Überprüfung mit einer formalen Logik durchführe, welche Art von Garantie habe ich, dass die Logik konsistent ist?". Und die Antwort lautet: keine. Davon muss man ausgehen. Die formale Überprüfung beseitigt nicht alle Annahmen. Es hilft Ihnen nur, klarer zu sein, was Sie annehmen, und es hilft Ihnen vielleicht sicherzustellen, dass Sie von Annahmen ausgehen, die vernünftig erscheinen.

Wenn Sie innerhalb einer Standardlogik arbeiten, gehen die meisten Leute davon aus, dass die Logik konsistent ist, auch wenn sie keinen Beweis dafür haben. Es ist wahr, dass wir eines Tages feststellen werden, dass die Logik tatsächlich inkonsistent ist ... aber die meisten Leute glauben, dass dies nicht sehr wahrscheinlich ist.

In einigen Fällen kann man beweisen, dass eine Logik konsistent ist, dies erfordert jedoch die Verwendung einer anderen leistungsfähigeren Logik, bei der wir davon ausgehen müssen, dass die zweite Logik konsistent ist, sodass wir noch einige Annahmen treffen müssen (davon ausgehen, dass eine Logik konsistent ist) ). Dies könnte als Beweis dafür gewertet werden, dass die erste Logik wahrscheinlich konsistent ist, wenn Sie der Meinung sind, dass die zweite Logik wahrscheinlich konsistent ist, die Argumentation jedoch irgendwo auf den Grund gehen muss - es gibt einige Dinge, die wir einfach annehmen müssen und nicht beweisen können.

Siehe z. B. Hilberts zweites Problem und diese Diskussion über die Konsistenz von ZFC (und dies und das und das und wahrscheinlich noch viele mehr).

Es gibt viele interessante philosophische Punkte, die in Ihrem Beitrag angesprochen werden.

Konsistenz der Booleschen Logik

Die Frage der Konsistenz der Beweistheorie in der klassischen Logik ist nicht so schlimm, wie Sie es sich vorstellen. Es reduziert sich im Wesentlichen auf Folgendes:

Wir können die Boolesche Logik als eine Sammlung von logischen Operationsfunktionen für die Wahrheitswerte 1und definieren 0. Aber woher wissen wir das 0≠1?

(Beachten Sie, dass ich einfach 0und 1als abstrakte Symbole für die beiden Wahrheitswerte verwende. Insbesondere gehe ich hier nicht von einer Ganzzahl aus.)

Wir, natürlich nicht wissen , dass 0und 1sind unterschiedlich. Aber die boolesche Logik ist so lächerlich einfach, dass das Ablehnen dieser Möglichkeit ein extremes Maß an Skepsis darstellt.

Aber die klassische Aussagenlogik reduziert sich darauf. Erinnern wir uns, dass wir den atomaren Sätzen auf irgendeine Weise Boolesche Werte zuweisen können, und dies erstreckt sich auch darauf, allen Sätzen, die aus den atomaren Sätzen konstruiert werden können, einen Wert zuzuweisen.

Die Aussage "von Pdir kann man ableiten Q" ist buchstäblich nur eine Ordnungsbeziehung; es bedeutet dasselbe wie die Behauptung, dass " v(P) ≤ v(Q)für jede Funktion gilt v, die den atomaren Sätzen Wahrheitswerte zuweist".

Die Schlußregeln für die Aussagenlogik sind genau die Eigenschaften für die Arbeit mit der Ordnung ≤. Insbesondere der Widerspruchsbeweis ist die Feststellung, dass wenn P ≤ 0, dann P = 0.

Und zurück zu Ihrem Problem ... Wenn wir beides wüssten P ≤ 0und dann ¬P ≤ 0, nachdem wir die Wahrheitswerte eingegeben haben, würden wir schlussendlich daraus schließen 0=1; Das Wahre und das Falsche bedeuten dasselbe.

Wenn Sie also der Überzeugung sind, dass "wahr" und "falsch" unterschiedliche Bedeutungen haben, sollten Sie der Konsistenz der Booleschen Logik ähnlich vertrauen.

Beweis durch Widerspruch in der intuitionistischen Logik

Zu beachten ist, dass der Widerspruchsbeweis besser formuliert wird als:

• Wenn Sie Widerspruch ableiten können P, dann schließen Sie¬P

Tatsächlich könnte man Negation geradezu als den Zusammenhang mit dieser Eigenschaft definieren. In der Heyting-Algebra wird ¬P normalerweise als P → 0 definiert.

Beachten Sie insbesondere den Sonderfall

• Wenn Sie Widerspruch ableiten können ¬P, dann schließen Sie¬¬P

Was Sie als "Beweis durch Widerspruch" bezeichnet haben, ergibt sich aus der Identifikation ¬¬Pmit P. Intuitionistische Logik geht nicht davon aus, dass diese äquivalent sind.

Konsistenz als formeller Vertrag

Es gibt mehr Computerformalismen für die Codierung von Logik; siehe einfach typisierte Lambda-Rechnung, abhängige Typen und insbesondere das Paradigma "Sätze als Typen".

Ohne ins Detail zu gehen, wird Widerspruch grundsätzlich als förmlicher Vertrag behandelt. Es gibt einen Typ, den ich nennen werde 0, und es gibt den Vertrag "Diese Funktionen können nicht verwendet werden, um ein Element des Typs zu konstruieren 0".

Wenn ein solches System so kühn ist, dass Sie eine Funktion T → 0erstellen können, bedeutet dies, dass es in ähnlicher Weise unmöglich ist, Objekte vom Typ zu erstellen , wenn es wirklich am Vertrag festhält T. Dies ist eine rechnerische Sichtweise, was ein Beweis durch Widerspruch bedeutet.

Letztendlich ist dies nicht viel anders als beispielsweise eine C-Funktion, die einen Zeiger zurückgibt, der verspricht, keinen Nullzeiger zurückzugeben, oder eine C ++ - Funktion, die verspricht, keine Ausnahme auszulösen.

Und wenn sich der Kreis schließt, zurück zur klassischen Logik, dann machen wir das wirklich.

Es werden uns förmliche Verträge angeboten, beispielsweise "Aus den Axiomen von Peano können Sie nach den Inferenzregeln keinen Widerspruch herleiten". Wenn dieser Vertrag tatsächlich eingehalten wird, wenn Sie nachweisen konnten, dass ¬Pdies einen Widerspruch impliziert, Pkann dies nicht auch einen Widerspruch implizieren.

Und wenn es möglich wäre, gegen den Vertrag zu verstoßen, würden wir einfach sagen "Peanos Axiome sind inkonsistent".

Wenn alle Beweise verwendet werden, um die Wahrheit einer formalen Aussage zu garantieren, setzen sie implizit die Konsistenz des Systems voraus, auf dem sie basieren. Dies liegt daran, dass bei inkonsistenten Systemen das gesamte System und die gesamte von uns geleistete Arbeit kaputt geht in diesem System ist im Grunde Müll.

Da wir nicht beweisen können, dass ein System (oder zumindest ein komplexes System) innerhalb der Grenzen dieses Systems konsistent ist, müssen wir es als empirische Wahrheit und nicht als formal nachweisbare Wahrheit betrachten. Wenn Mathematiker längere Zeit mit einem formalen System arbeiten und kein Widerspruch entdeckt wird, dann ist das im Grunde ein empirischer Beweis für die Konsistenz des Systems. Zusätzlich können wir ein leistungsfähigeres System verwenden, um die Konsistenz des Systems zu beweisen, mit dem wir arbeiten (obwohl die Konsistenz dieses leistungsfähigeren Systems immer noch empirisch wäre - das Geld bleibt irgendwo stehen).

Im Kern ist die Situation in der Mathematik identisch mit der in den Naturwissenschaften. Wir bauen Mathematik auf der Grundlage von Theorien auf, die auf der Grundlage aller Informationen, die wir über diese Theorien haben, als richtig erscheinen, und wie in der Wissenschaft können Sie nicht beweisen, dass eine Theorie korrekt ist. man kann es nur falsch beweisen.

$S$

Egal, auf welchem ​​Axiomensystem wir uns für Mathematik entscheiden, es besteht immer die Gefahr, dass wir einen Widerspruch in diesem System entdecken. Genau aus diesem Grund führen Mathematiker keine neuen Axiome in die Mathematik ein: Jedes neue Axiom kann mit den bereits verwendeten Axiomen inkompatibel sein, und alle Arbeiten, die das neue Axiom verwenden, müssten komplett neu bewertet werden.

Nachtrag: Wenn ich davon spreche, dass eine Aussage für ein bestimmtes System wahr ist, kann sie in diesem System nicht widerlegt werden, wenn dieses System konsistent ist.