Warum impliziert Solidität Beständigkeit?

Ich habe die Frage gelesen. Beständigkeit und Vollständigkeit implizieren Solidität. und die erste Aussage darin lautet:

Ich verstehe, dass Solidität Beständigkeit impliziert.

Worüber ich ziemlich verwirrt war, weil ich dachte, Solidität sei eine schwächere Aussage als Konsistenz (dh ich dachte, konsistente Systeme müssten solide sein, aber ich denke, es ist nicht wahr). Ich habe die informelle Definition verwendet, die Scott Aaronson in seinem Kurs 6.045 / 18.400 am MIT für Konsistenz und Solidität verwendet hat:

1. Richtigkeit = Ein Beweissystem ist richtig, wenn alle Aussagen, die es beweist, tatsächlich wahr sind (alles, was beweisbar ist, ist wahr). dh WENN ( ist nachweisbar) ( ist wahr). Also WENN (es gibt einen Pfad zu einer Formel) DANN (diese Formel ist wahr)$\phi$$\implies$$\phi$
2. Konsistenz = ein konsistentes System beweist niemals A und NICHT (A). Also kann nur ein A oder seine Negation wahr sein.

Unter Berücksichtigung dieser (vielleicht informellen) Definitionen habe ich das folgende Beispiel erstellt, um zu demonstrieren, dass es ein System gibt, das solide, aber nicht konsistent ist:

Der Grund, warum ich dachte, dass es sich um ein Soundsystem handelt, ist, dass die Axiome unter der Annahme wahr sind. Also A und nicht A sind beide wahr (ja, ich weiß, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte nicht enthalten ist). Da die einzige Folgerungsregel die Negation ist, erhalten wir, dass wir sowohl A als auch nicht A von den Axiomen aus erreichen und einander erreichen können. Somit erreichen wir nur wahre Aussagen in Bezug auf dieses System. Natürlich ist das System nicht konsistent, da wir die Negation der einzigen Aussage im System nachweisen können. Daher habe ich gezeigt, dass ein Soundsystem möglicherweise nicht konsistent ist. Warum ist dieses Beispiel falsch? Was habe ich falsch gemacht?

In meinem Kopf ist dies intuitiv sinnvoll, da die Zuverlässigkeit nur sagt, dass wir, sobald wir von den Inferenzregeln ausgehen und sie durchsetzen und ankurbeln, nur an Zielen (dh Aussagen) ankommen, die wahr sind. Es sagt jedoch nicht wirklich, an welchem ​​Ziel wir ankommen. Konsistenz besagt jedoch, dass wir nur Ziele erreichen können, die entweder oder (beides nicht beides). Also muss jedes konsistente System das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte als Axiom enthalten, was ich natürlich nicht getan habe und dann nur die Negation des einzigen Axioms als einziges anderes Axiom aufgenommen habe. Es fühlt sich also nicht so an, als hätte ich etwas zu Kluges getan, aber irgendwie stimmt etwas nicht?$A$$\neg A$

Mir ist nur klar, dass es ein Problem sein könnte, weil ich Scotts informelle Definition verwende. Noch bevor ich die Frage schrieb, habe ich Wikipedia überprüft, aber ihre Definition ergab für mich keinen Sinn. Insbesondere der Teil, den sie sagen:

in Bezug auf die Semantik des Systems

ihr volles Zitat ist:

Jede Formel, die im System bewiesen werden kann, ist in Bezug auf die Semantik des Systems logisch gültig.

Ich empfehle, die formale Logik über vage, handgewellte Beschreibungen hinaus zu untersuchen. Es ist interessant und sehr relevant für die Informatik. Leider kann die Terminologie und der enge Fokus selbst von Lehrbüchern, die sich speziell mit formaler Logik befassen, ein verzerrtes Bild davon vermitteln, was Logik ist. Das Problem ist, dass die meisten Mathematiker, wenn sie über "Logik" sprechen, (oft implizit) klassische Aussagenlogik oder klassische Logik erster Ordnung meinen. Während dies äußerst wichtige logische Systeme sind, sind sie bei weitem nicht in der Breite der Logik. Auf jeden Fall spielt sich das, was ich sagen werde, größtenteils in diesem engen Kontext ab, aber ich möchte klarstellen, dass es in einem bestimmten Kontext geschieht und nicht außerhalb davon wahr sein muss.

Erstens, wenn Konsistenz als nicht beweisend für und , was passiert, wenn unsere Logik nicht einmal Negation hat oder wenn¬ A $A$$\neg A$$\neg$bedeutet etwas anderes? Dieser Begriff der Konsistenz lässt einige Annahmen über den logischen Kontext zu, in dem er sich bewegt. Typischerweise arbeiten wir in der klassischen Aussagenlogik oder in einer Erweiterung davon wie der klassischen Logik erster Ordnung. Es gibt mehrere Darstellungen, dh Listen von Axiomen und Regeln, die als klassische Aussagenlogik / Logik erster Ordnung bezeichnet werden könnten, aber für unsere Zwecke nicht wirklich wichtig sind. Sie sind in einem geeigneten Sinne gleichwertig. Wenn wir über ein logisches System sprechen, meinen wir typischerweise eine (klassische) Theorie erster Ordnung. Dies beginnt mit den Regeln und (logischen) Axiomen der klassischen Logik erster Ordnung, zu denen Sie gegebene Funktionssymbole, Prädikatsymbole und Axiome (sogenannte nichtlogische Axiome) hinzufügen. Diese Theorien erster Ordnung sind in der Regel das, was wir

Als nächstes bedeutet Solidität normalerweise Solidität in Bezug auf eine Semantik. Konsistenz ist eine syntaktische Eigenschaft, die damit zu tun hat, welche formalen Beweise wir führen können. Solidität ist eine semantische Eigenschaft, die damit zu tun hat, wie wir Formeln, Funktionssymbole und Prädikatsymbole in mathematische Objekte und Aussagen interpretieren. Um überhaupt über Solidität zu sprechen, muss man eine Semantik angeben, dh eine Interpretation der oben genannten Dinge. Wir haben wieder eine Trennung zwischen den logischen Verknüpfungen und logischen Axiomen und den Funktionssymbolen, Prädikatsymbolen und nicht-logischen Axiomen. Was Connectives und logische Axiome zu logischen Axiomen aus semantischer Sicht macht, ist, dass sie durch die Semantik besonders behandelt werden, Funktionssymbole, Prädikatsymbole und nicht-logische Axiome jedoch nicht.$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ wo ich als die Interpretation der Formel . Insbesondere ist Wobei die Domänenmenge ist. Die Idee ist, dass eine Formel als die Menge von (Tupeln von) Domänenelementen interpretiert wird, die die Formel erfüllen. Eine geschlossene Formel (dh eine Formel ohne freie Variablen) wird als Null-Relation interpretiert, dh als Teilmenge einer Singleton-Menge, die nur diese Singleton-Menge oder die leere Menge sein kann. Eine geschlossene Formel ist "wahr", wenn sie nicht als leere Menge interpretiert wird. Solidität ist dann die Aussage, dass jede nachweisbare (abgeschlossene) Formel im obigen Sinne "wahr" ist.$[\![\varphi]\!]$$\varphi$$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

Selbst anhand der von mir gegebenen Skizze ist es von hier aus einfach zu beweisen, dass Solidität Konsistenz bedeutet (im Kontext der klassischen Logik erster Ordnung und der von mir skizzierten Semantik). Wenn Ihre Logik Ist ein Ton, dann wird jede beweisbare Formel als nicht leere Menge interpretiert, aber wird immer als leere Menge interpretiert, egal welche Formel ist, und so ist es kann nicht beweisbar sein, dh Ihre Logik ist konsistent.

Solidität und Konsistenz sind Eigenschaften deduktiver Systeme. Die Stichhaltigkeit kann nur in Bezug auf einige Semantiken definiert werden, von denen angenommen wird, dass sie unabhängig vom deduktiven System gegeben sind.

Im Bereich der Semantik hängen die beiden Eigenschaften zusammen

Definition 1 ( Solidität [Semantik] - von Wikipedia entlehnt ) Die Solidität eines deduktiven Systems ist die Eigenschaft, dass jeder Satz, der in diesem deduktiven System beweisbar ist, auch für alle Interpretationen oder Strukturen der semantischen Theorie für die Sprache gilt, auf der diese Theorie basiert basiert.

Definition 2 ( Konsistenz [Semantik] ) Eine Menge von Sätzen in der Sprache ist nur dann konsistent, wenn eine Struktur der Sprache , die alle Sätze in erfüllt . Ein deduktives System ist konsistent, wenn es eine Struktur gibt, die alle darin nachweisbaren Formeln erfüllt.$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$

Mit den beiden obigen Definitionen ist klar, dass Solidität Konsistenz impliziert. Dh wenn die Menge aller beweisbaren Sätze in allen Strukturen der Sprache gilt, gibt es mindestens eine Struktur, die sie erfüllt.

Ihr Proofsystem ist weder Ton noch konsistent, da nicht eine wahre Aussage , es sei denn ist A ≡ ⊤ , in welchem Fall ¬ A ≡ ⊥ ist nicht ein wahrer Satz. Dieses Argument zeigt, dass jedes Schallschutzsystem auch konsistent ist.$A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

Wenn wir logische Systeme entwickeln, werden sie häufig durch den Versuch motiviert, ein bereits bestehendes Phänomen zu beschreiben. Zum Beispiel ist Peano-Arithmetik ein Versuch, die natürlichen Zahlen zusammen mit den Operationen der Addition und Multiplikation zu axiomatisieren.

Die Solidität kann nur in Bezug auf das Phänomen definiert werden, das Sie beschreiben möchten, und bedeutet im Wesentlichen, dass Ihre Axiome und Folgerungsregeln die betreffende Sache wirklich beschreiben. So ist zum Beispiel Peano-Arithmetik gesund, weil ihre Axiome und Folgerungsregeln wirklich für die natürlichen Zahlen gelten.

Dies impliziert natürlich, dass Sie ein Konzept von "natürlichen Zahlen" haben, das über Peanos Definition von ihnen hinausgeht, und eine Vorstellung davon, was für die natürlichen Zahlen wahr oder falsch ist, ohne diese Wahrheiten aus einem bestimmten Satz von Axiomen abgeleitet zu haben. Wenn Sie versuchen zu erklären, woher diese Wahrheiten kommen oder wie sie überprüft werden können, landen Sie in philosophischen Gewässern. Wenn Sie jedoch davon ausgehen, dass es natürliche Zahlen gibt und es eine Sammlung wahrer Fakten zu diesen gibt, können Sie das Axiomatisierungsprojekt als den Versuch betrachten, eine präzise formale Spezifikation zu erstellen, aus der viele der wichtigsten hervorgehen Wahrheiten können abgeleitet werden. Dann ist eine Axiomatisierung richtig, wenn alles, was sie beweisen kann, tatsächlich in der vorgegebenen Sammlung von Wahrheiten enthalten ist, d. H.

(Beachten Sie insbesondere, dass Ihre formale Spezifikation nicht alles beweisen wird, was für die natürlichen Zahlen zutrifft, und außerdem die natürlichen Zahlen nicht eindeutig beschreiben wird, da es andere Strukturen gibt, die sich von den natürlichen Zahlen unterscheiden, in denen sich Peanos Axiome befinden auch wahr.)

Zumindest in der Logik erster Ordnung ist eine Theorie konsistent, wenn sie überhaupt Modelle hat. Solidität bedeutet, dass es das spezifische Modell hat, das Sie wollten: Die bestimmte Struktur, die Sie mit Ihrer Theorie beschreiben wollten, ist wirklich ein Modell Ihrer Theorie. Aus dieser Perspektive ist klar, warum Solidität Konsistenz impliziert.

$\neg$

$\neg$$\mathbb N$

$\neg$

Noch etwas: Wir gehen nicht davon aus, dass Axiome per Definition wahr sind. Alle Axiome sind per Definition nur die Grundbausteine ​​von Beweisen. Sie sind nur Behauptungen: Sie sind nur wahr oder falsch, wenn sie auf bestimmte mathematische Objekte angewendet werden. Sie können falsche Axiome haben, es ist einfach ziemlich albern, weil Ihr System dann notwendigerweise und sofort nicht mehr solide sein wird.

Um eine prägnante (und intuitive) Antwort zu haben, werde ich das, was Scott Aaronson in seiner MIT-Vorlesung 6.045 / 18.400 sagte, umschreiben. Er sagte so etwas:

Solidität bedeutet, dass alles, was beweisbar ist, wahr ist. Da Konsistenz bedeutet, dass es keine Widersprüche gibt und es sich bereits um Solidität handelt, muss das Konzept von Wahrheit und Wahrheit konsistent sein (dh Wahr! = Falsch), dann muss es bedeuten, dass auch Soundsysteme konsistent sind. Solidität impliziert also Konsistenz, weil (wirklich) wahre Dinge keine Widersprüche aufweisen.

Jetzt, wo ich nachdenke, merke ich, dass ich einige falsche Annahmen / Ideen hatte:

1. Ich wusste nicht, dass es bei Solidität um Semantik geht. Daher habe ich nicht begriffen, dass die Verwendung von Inferenzregeln aus den Axiomen nicht ausreicht, um zu wahren Konsequenzen zu führen (und dass dies keine Garantie ist, was meiner Meinung nach unmöglich war, widersprüchliche Dinge zu erreichen, solange wir von den Axiomen und ausgegangen sind verwendete gültige Inferenzregeln).
2. Ich dachte, solange die Axiome wahr sind und die Folgerungsregeln Sinn ergeben, würde alles, was vor sich geht, wahr sein. Was ich jetzt realisiere, könnte nicht wahr sein, denn wenn wir nur eine riesige Liste von Axiomen und Folgerungsregeln haben, ist es schwer zu überlegen, ob alles, was folgt, wahr sein wird. Das heißt, es reicht nicht aus, nur von einem Axiom auszugehen und eine gültige Inferenzregel zu verwenden, um sicherzustellen, dass der nächste Schritt wahr ist.
3. Das Vorherige ist im Wesentlichen mit der Tatsache verbunden, dass ich nicht erkannt habe, dass es zwei Komplexitätsebenen gibt: 1) Semantik 2) Syntaktik. Das Anlassen des Crunching-Spiels kann zu Widersprüchen führen.
4. Ich wusste nicht, dass ich die richtige Charakterisierung der Wahrheit nicht kannte, was Derek bei der Charakterisierung sehr gut gemacht hat.