Wenn jeder an P ≠ NP glaubt, warum stehen dann alle Beweisversuchen für P ≠ NP skeptisch gegenüber?

55

Viele scheinen zu glauben, dass , aber viele halten es auch für sehr unwahrscheinlich, dass dies jemals bewiesen wird. Gibt es nicht eine Inkonsistenz dazu? Wenn Sie der Meinung sind, dass ein solcher Beweis unwahrscheinlich ist, sollten Sie auch glauben, dass fundierte Argumente für fehlen. Oder gibt es gute Argumente dafür, dass unwahrscheinlich ist, ähnlich wie die Riemannsche Hypothese, die für große Zahlen gilt, oder die sehr hohen unteren Schranken für die Anzahl der vorhandenen Primzahlen mit einem kleinen Abstand, nämlich. die Twin Prime-Vermutung? $P\ne NP$ $P\ne NP$ $P\ne NP$

complexity-theory p-vs-np

— pafnuti
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61

Weil Wunschdenken keinen Beweis liefert. Und weil es nicht jeder ist. Und weil "glauben" für die meisten mathematisch denkenden Menschen nicht ausreicht.

— Raphael

26

"warum ist jeder skeptisch gegenüber Beweisversuchen" ist etwas ganz anderes als "viele halten es für sehr unwahrscheinlich, dass dies jemals bewiesen wird".

— Tom van der Zanden

95

Ich glaube an die Existenz des nigerianischen Präsidenten und dass er manchmal mit Problemen im Zusammenhang mit dem Umtausch von Währungen konfrontiert ist. Ich bin jedoch skeptisch gegenüber den E-Mails, die ich erhalten habe und die angeblich meine Hilfe bei diesen Problemen fordern.

— Gilles 'SO- hör auf böse zu sein'

3

Zu diesem Zeitpunkt war das Problem fast ein halbes Jahrhundert lang offen und es gibt eine nicht beanspruchte 1-Millionen-Dollar-Auszeichnung für mehr als ein halbes Jahrzehnt (Claymath). Das Problem ist daher wahrscheinlich ungefähr so und / oder mindestens so schwer wie epische Probleme wie die von Ihnen erwähnten (Riemann / Twin Primes). Riemann ist seit ca. 1½ Jahrhunderten ungelöst und nach ca. 2Millenia sind noch zwei Primzahlen ungelöst. mit anderen Worten, der allgemeine Konsens / die konventionelle Weisheit ist, dass es "wahr zu sein scheint", aber aus "Gründen, die jenseits des gegenwärtigen menschlichen Verständnisses / der vorhandenen mathematischen Techniken / Kenntnisse liegen". Die meisten Wissenschaftler glauben jedoch, dass es irgendwann gelöst sein wird ...

— vzn

3

Anscheinend hat sich jeder darauf konzentriert, die guten Gründe für die Skepsis gegenüber neuen Beweisversuchen zu rechtfertigen ... aber niemand hat sich wirklich mit der Kernfrage der OP befasst: Warum / Wie sind wir so zuversichtlich, dass etwas, das unbeweisbar zu sein scheint, wahrscheinlich immer noch wahr ist? ? Als kompletter Laien-Idiot scheint es mir analog zu sein, dass es schwieriger ist zu beweisen, dass etwas nicht existiert als etwas existiert (wenn man das Ding hat, ist das letztere einfach, aber für das erstere ist man sich nie sicher, ob es wirklich existiert existiert nicht oder du hast es einfach noch nicht gefunden)

— Anentropic

93

Die Leute sind skeptisch, weil:

Kein Beweis ist von einem Experten erbracht worden, ohne kurz danach widerrufen worden zu sein
Es wurde so viel Mühe darauf verwendet, einen Beweis zu finden, ohne Erfolg, dass davon ausgegangen wird, dass einer entweder erheblich kompliziert ist oder neue Mathematik für den Beweis erfunden wird
Die dabei häufig auftretenden "Beweise" scheitern an bekannten Hürden. Zum Beispiel behaupten viele, 3SAT sei nicht in P, und liefern ein Argument, das auch für 2SAT gilt.

Klar ist, dass die Skepsis bei den Beweisen liegt und nicht beim Ergebnis.

— jmite
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16

Ein wichtiger Punkt ist, dass breite Klassen von Beweistechniken sich als nicht ausreichend erwiesen haben. Siehe Wikipedia bearbeiten: auch in Evils Antwort erwähnt

— JollyJoker

4

Ein weiterer Grund, den ich für wichtig halte, ist die Schwere der Situation, wenn man die falsche Antwort erhält. Wenn man von P ≠ NP ausgeht und dies sich als falsch herausstellt, gibt es buchstäblich Infrastrukturen und Transaktionen im Wert von mehreren Milliarden Dollar, die in erster Linie durch die vermutete NP-Natur eines Angriffs auf ihre Kryptographie geschützt sind.

— Cort Ammon

14

@CortAmmon Aber die Entdeckung deterministischer -Algorithmen für diese Probleme würde wahrscheinlich keinen praktischen Unterschied bewirken .

Θ (n^{100})

$\Theta(n^{100})$

— David Richerby

@DavidRicherby - Auf der anderen Seite nimmt die Komplexität mit der Zeit oftmals erheblich ab , zumindest wenn kryptografische Algorithmen zerstört werden.

— TLW

@TLW Sorry, ich war ungenau. Ich meinte, dass es für die Kryptographie kaum einen Unterschied machen würde, wenn wir feststellen würden, dass NP-Probleme Polynom-Zeit-Algorithmen haben, aber dass jeder dieser Algorithmen eine Laufzeit von . In diesem Fall gibt es keinen Verbesserungsbedarf.

Ω (n^{100})

$\Omega(n^{100})$

— David Richerby

43

Überzeugungen sind orthogonal zu Beweisen. Der Glaube kann Lösungsversuche von Forschern oder vielmehr deren Hauptinteresse lenken, dies hindert sie jedoch nicht daran, einen Beweis zu prüfen.

Das Problem mit dass viele Standardmethoden für den Versuch eines Beweises bereits ausgeschlossen sind und nicht ausreichen, um auf irgendetwas zu schließen, finden Sie hier für weitere Details. $P \ne NP$

Es gibt keine Inkonsistenz in der gesammelten Umfrage von Verdächtigungen und begründeten Vermutungen. Auch der Glaube, dass etwas nicht bewiesen wird, ist in keiner Weise aufschlussreich, ohne einen Beweis für die Unbeweisbarkeit.

Die jahrelangen Versuche, Behauptungen und verworfenen Methoden lassen die Leute skeptisch werden.

Bitte schauen Sie sich die vorherigen Artikel an , die versucht haben, einen Beitrag zur Lösung zu leisten.

"Außerordentliche Ansprüche bedürfen außerordentlicher Beweise."

Dies kennzeichnet die Skepsis recht genau.

— Böse
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7

Nun, nicht orthogonal . Es ist klar, dass es mit dem Glauben korreliert, wahr zu sein.

— Ansammlung

2

Spricht Ihr markiertes Zitat nicht tatsächlich mit der ursprünglichen Frage überein? Dh: Wenn die Aussage P ≠ NP so weit verbreitet und akzeptiert ist, warum ist es dann eine außergewöhnliche Behauptung, sollte es nicht eine gewöhnliche Behauptung sein? Ich denke, es ist, wie Sie sagen, die außergewöhnliche Behauptung ist nicht, dass P ≠ NP, sondern dass ein Beweis gefunden wurde. Und das wäre schon aufgrund der Geschichte der versuchten Beweise außergewöhnlich. Ich bin mir nicht sicher, was ich meine, abgesehen von der Tatsache, dass Ihre Betonung dieses Zitats interessant war. :)

— Jack Casey

3

Wenn Sie "orthogonal" verwenden, um etwas anderes als "unkorreliert" zu bedeuten, dann denken Sie, dass Sie es auf eine nicht standardmäßige Weise verwenden.

— Ansammlung

1

Ich verwende das Wort "orthogonal" auf die üblichste und cs / math / dsp-kompilierende Weise und bin mit der Korrelation nicht einverstanden, wenn Standard-MO gegeben ist, und gebe sogar ein Gegenbeispiel. Es ist nicht aus wissenschaftlicher Sicht korreliert, aber es ist aus Verhaltensheuristik, die nicht gemischt werden sollte.

— Evil

1

@JackCasey, die Behauptung ist außergewöhnlich, weil sie im Vergleich zu Tausenden anderen nachgewiesenen Behauptungen nicht bewiesen wurde. Es ist egal, dass jeder so "glaubt".

— Arturo Torres Sánchez

22

Einige Gründe, einige allgemein und einige spezifisch.

Der allgemeine Grund ist, dass dies ein seit langem bekanntes berühmtes Problem ist, das viele kluge Leute zu lösen versucht haben, und viele kluge Leute haben sich geirrt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Beweis gültig ist, ist aufgrund dieser Vorgeschichte äußerst gering.

In diesem speziellen Fall wurde untersucht, welche Beweise nicht funktionieren . Es hat sich gezeigt, dass grundsätzlich alle bekannten Beweistechniken zum Beweisen von Dingen in der Informatik nicht P! = NP beweisen können .

Wikipedia behandelt dies und weist darauf hin, dass "Relativieren von Beweisen" (Beweise, die unabhängig davon funktionieren, auf welche Orakel Ihr TM Zugriff hat), "Natürliche Beweise" (einschließlich Schaltkreisuntergrenzen) und "Arithmetisierung" nicht ausreichen, um P und NP zu unterscheiden (Zeigen Sie sie gleich oder verschieden), oder ein solcher Beweis wäre ein lächerlich wirkungsvolleres Ergebnis.

Kurz gesagt, nicht nur viele kluge Köpfe haben lange daran gearbeitet und sind gescheitert, sondern sie haben auch bewiesen, dass ganze Beweisfamilien nicht zur Lösung dieses Problems herangezogen werden können. Wenn also jemand mit P! = NP auftaucht, gibt es eine natürliche Skepsis, gefolgt von der Feststellung, dass einer der vielen Beweise gegen solche Beweise verstößt, und dann besteht keine Notwendigkeit mehr, den Rest des Ergebnisses zu überprüfen.

— Yakk
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Ich frage mich, ob es tatsächlich stimmt, dass viele kluge Köpfe versucht haben, P ≠ NP zu beweisen, oder ob sie sich auf etwas Erreichbares konzentriert haben, wie beispielsweise zu zeigen, dass bestimmte bekannte Beweistechniken nicht funktionieren.

— gnasher729

3

@gnasher Lesen Sie Wikipedia. Diejenigen , „diese Technik kann nicht funktionieren“ Beweise floss aus Versuchen zu verwenden diese Techniken P zu beweisen? = NP. Jeder kann einen nicht-relitivierenden Beweis für irgendetwas in CS erbringen , das nicht unter die anderen ausgeschlossenen Beweistechniken fällt. Sie können wetten, dass die Leute es versuchen werden.

— Yakk

Die ACC0-Untergrenze von Ryan Williams entzieht sich anscheinend allen bekannten Barrieren (sofern sie für ACC0-Schaltungen existieren).

— Lwins

7

Die Leute glauben keine "Beweise" wegen der wahrgenommenen Schwierigkeit.

Nehmen wir an, wir treffen Außerirdische, die besser in Mathe sind als Menschen. Ihr durchschnittliches Schulkind ist in Mathematik ungefähr so gut wie unsere größten Mathematiker. Kein kluges Schulkind, aber ein durchschnittliches Schulkind.

Sie haben die Riemann-Hypothese, den Twin-Prime-Satz und die erste Hardy-Littlewood-Vermutung sowie die Goldbach-Hypothese bewiesen. Was halten sie davon zu beweisen, dass das Problem des Handlungsreisenden in polynomialer Zeit gelöst werden kann? Sie werden es unwahrscheinlich finden, dass jemand dies lösen könnte. Was halten sie davon zu beweisen, dass das Problem des Handlungsreisenden nicht in polynomialer Zeit gelöst werden kann? Ich denke, sie werden es noch weniger wahrscheinlich finden, dass jemand einen Beweis finden könnte.

Das ist nur meine Meinung, aber wenn jemand sagt, dass er einen Beweis für P = NP oder P ≠ NP hat, werde ich es nicht glauben.

PS. Die Riemannsche Hypothese ist länger offen, da es sich um ein klassisches mathematisches Problem handelt, das vor 100 Jahren für Mathematiker sinnvoll war. P ≠ NP ist Informatik, etwas viel Neues, und AFAIK der ganze Begriff von NP stammt nur aus den 1970er Jahren. Bei der Riemann-Hypothese sind Fortschritte zu verzeichnen (im Gegensatz zu P ≠ NP können wir nicht "alle Nullen yada yada", sondern zumindest "einen großen Teil aller Nullen yada yada" beweisen). Es ist eindimensional. Es geht um die Nullen einer einzelnen Funktion. P ≠ NP handelt von allen möglichen Algorithmen zur Lösung eines Problems.

— gnasher729
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7

Warum ist es Ihrer Meinung nach schwieriger, P gegen NP aufzulösen als die Riemann-Hypothese? Letzteres ist schon viel länger geöffnet.

— Yuval Filmus

4

Ich bin nicht der Meinung, dass es nützlich ist , darüber zu spekulieren, welche Aliens klüger sind als wir , wenn sie nicht-faktische Meinungen vertreten .

— Matthew Read

1

Es gibt keine Korrelation zwischen Schwierigkeit und Alter mathematischer Probleme. Es gibt keine eindeutige Lösung für ein mathematisches Problem. Die Schwierigkeit hängt von der Perspektive ab. Es kann einfache Lösungen für P = NP geben, und es kann auch komplexe geben, genau wie die Riemannsche Hypothese und jede andere Vermutung. Schließlich ist es nicht gültig zu sagen, dass RH ungefähr die Nullen einer Funktion ist und daher nicht so schwer ist. Viele schwierige mathematische Probleme können als Nullen einer Funktion umformuliert werden.

— Glen Wheeler

1

@GlenWheeler Wie definieren Sie Schwierigkeiten, ohne darauf hinzuweisen, wie hart daran gearbeitet wird, um sie zu lösen, was zwangsläufig aufzeigt, wie lange das Problem schon besteht?

— Djechlin

Schwierigkeit ist ein problematisches Konzept. Anstatt eine so falsch definierte Sprache zu verwenden, sprechen Sie stattdessen darüber, was Sie eigentlich meinen: Zum Beispiel, dass es sie schon seit X Jahren gibt, von denen Y eines der berühmten "Millionen-Dollar-Probleme" ist. Dies ist bereits ein Hinweis darauf, was Sie abschließen möchten, sodass der Umweg über dieses Konzept der "Schwierigkeit" völlig unnötig ist.

— Glen Wheeler

7

Der Grund, warum Menschen Beweisversuchen von P! = NP skeptisch gegenüberstehen, ist derselbe, warum Menschen Beweisen bekannter Vermutungen skeptisch gegenüberstehen: Alle paar Monate werden falsche Beweise veröffentlicht und abgeschossen. In der Zwischenzeit scheinen korrekte Beweise berühmter Vermutungen wenig Schwierigkeiten zu haben, Aufmerksamkeit zu erregen (siehe zum Beispiel die Poincare-Vermutung oder Fermats letzter Satz), aber diese Beweise beruhen oft auf tiefgreifenden Kenntnissen über große Anstrengungen von Gruppen von Mathematiker (wie Hamilton's Ricci Flow für die Poincare-Vermutung oder die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung für Fermats Last Theorem), selbst wenn die letzten Schritte von einem einzigen Theoretiker ausgeführt wurden.

P gegen NP ist ein besonders heikles Problem, weil alle "offensichtlichen" Methoden nicht nur keinen Beweis erbrachten, sondern sich mit starken Theoremen als unbrauchbar erwiesen haben. Zum ersten Mal sind angehende Prüfer sehr wahrscheinlich der Meinung, dass sie auf einen Beweis gestoßen sind, stattdessen aber in eine dieser bekannten Fallen geraten sind. Bemerkenswert ist, dass die wichtigsten Fortschritte auf diesem Gebiet darin bestehen, zu zeigen, dass eine Reihe von Methoden zum Nachweis von P! = NP nicht funktioniert. Es ist etwas empörend, dass wir nicht einmal zeigen können, dass 3Sat keine entscheidbare lineare Zeit ist, geschweige denn außerhalb der Polynomzeit!

Ich würde argumentieren, dass nur sehr wenige Leute glauben, dass dies jedoch niemals bewiesen werden wird. In der Tat ist die Aussage P! = NP ein derart grundlegender Baustein in unserem Verständnis der Komplexität von Berechnungen, dass es aus einem einfachen und eleganten Grund kaum vorstellbar ist, dass dies zutrifft.

Wenn man jedoch zynisch sein will, ist P! = NP gleichbedeutend mit der Aussage, dass nur weil ein Beweis einfach (dh kurz) ist, es nicht sehr schwer ist, den Beweis zu finden (dh es dauert eine superpolynomielle Suchzeit) ). Tatsächlich werden die meisten Theorien glauben , dass es keine Unter ist exponentielle für die Suche nach Beweisen was darauf hindeutet , dass bei jeder eine Methode zu finden , Beweise (dh ein Mathematiker denken oder eine Computersuche), Zeit Algorithmus gibt es viele Sätze mit einfachen kurzen Beweise , die äußerst schwierig zu find (möglicherweise Jahrtausende Suchzeit). Ob P! = NP ein solcher Satz ist, ist natürlich nicht bekannt!

Das heißt, jemand könnte den Beweis morgen veröffentlichen.

— olympicmarmot
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4

Weil Sie vielleicht denken, dass es unentscheidbar ist, und vielleicht sogar unentscheidbar, ob es unentscheidbar ist. Viele mathematische Theoreme sind so.

— Niklas Rosencrantz
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11

Das Diskutieren der Entscheidbarkeit von P gegen NP ist ein Kategoriefehler. Entscheidbarkeit ist eine Eigenschaft von Rechenproblemen; P vs NP ist kein Rechenproblem: Es ist entweder wahr oder falsch (oder möglicherweise nicht beweisbar). Die nächste Analogie lautet: "Ist P = NP?" ist eine einzelne Instanz eines anderen Problems.

— David Richerby

2

Auch {"Is P = NP?"} Ist trivial entscheidbar, wie bereits auf der Site diskutiert wurde.

— Raphael

5

Ihr seid ein bisschen schnell darin, imho runter zu stimmen. Meine Vermutung ist, dass er sich auf die Tatsache bezieht, dass die Hypothese unabhängig von zB ZFC sein könnte, was manchmal auch als unentscheidbar bezeichnet wird ( en.wikipedia.org/wiki/Independence_(mathematical_logic ).

— DFF

4

@ David setzt er den Kontext explizit auf "mathematische Theoreme". In diesem Zusammenhang ist eine der beiden möglichen Auslegungen des Begriffs unsinnig. Ich halte es für selbstverständlich, dass er sich auf die andere Auslegung bezog.

— DFF

3

@ DFF, ich vermute, Sie verpassen den Punkt. Viele Informatiker neigen dazu, das Konzept der "Unabhängigkeit" zu verstehen. Sie verstehen auch das Wort "Unabhängigkeit". Das Problem entsteht, wenn jemand das Wort "unentscheidbar" verwendet, um "unabhängig" zu bedeuten, wenn er mit einem Informatiker spricht. Unter Informatikern bedeutet "unentscheidbar" standardmäßig "Unentscheidbar" (wie das Halteproblem " Das liegt nicht daran, dass Informatiker noch nie vom Konzept der Unabhängigkeit gehört haben, sondern daran, dass der Begriff "unentscheidbar" eine Standardbedeutung hat.

— DW