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Ich versuche zu beweisen, dass ein Binärbaum mit Knoten höchstens Blätter hat. Wie würde ich das mit Induktion machen?$n$$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Für Leute, die der ursprünglichen Frage nach Haufen folgten, wurde sie hierher verschoben .

Ich gehe jetzt davon aus, dass die Frage folgende ist:

Beweisen Sie bei einem Binärbaum mit Knoten, dass er höchstens ⌈ $n$Blätter.$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Lassen Sie uns mit dem Baum Definition arbeiten . Für T ein solcher Baum, lassen n T die Anzahl der Knoten in T und L T die Anzahl der Blätter in T .$\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$$T$$n_T$$T$$l_T$$T$

Sie tun dies zu Recht durch Induktion, benötigen jedoch eine strukturelle Induktion, die der Baumstruktur folgt. Bei Bäumen erfolgt dies häufig als vollständige Induktion über die Höhe der Bäume.$h(T)$

Der Induktionsanker besteht aus zwei Teilen. Erstens, für Wir haben T = E m p t Y mit L T = N T = 0 ; Die Behauptung gilt eindeutig für den leeren Baum. Für h ( t ) = 1 , dh T = L e a f , gilt in ähnlicher Weise l T = 1 = ⌈ n $h(t)=0$$T=\mathrm{Empty}$$l_T=n_T=0$$h(t)=1$$T = \mathrm{Leaf}$, so gilt der Anspruch für Blätter.$l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

Die Induktionshypothese lautet: Angenommen, die Behauptung gilt für alle (binären) Bäume mit h ( T ) ≤ k , k ≥ 1 willkürlich, aber fest.$T$$h(T)\leq k$$k\geq 1$

Betrachten Sie für den induktiven Schritt einen beliebigen Binärbaum mit h ( T ) = k + 1 . Wie k ≥ 1 , T = N o d e ( L , R ) und n T = n L + n R + 1 . Da L und R auch binäre Bäume sind (sonst wäre T nicht) und h ( L ) , h $T$$h(T)=k+1$$k\geq 1$$T=\mathrm{Node}(L,R)$$n_T = n_L+ n_R+1$$L$$R$$T$ gilt und gilt die Induktionshypothese$h(L),h(R)\leq k$

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

Da alle Blätter von entweder in L oder R sind , haben wir das$T$$L$$R$

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

Die mit markierte Ungleichung kann durch eine (vierfache) Unterscheidung überprüft werden, ob n L , n R ∈ 2 N ist . Mit der Induktionskraft ist der Beweis abgeschlossen.$(*)$$n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$

Als Übung können Sie dieselbe Technik verwenden, um die folgenden Aussagen zu beweisen:

• Jeder perfekte Binärbaum der Höhe hat 2 h - 1 Knoten.$h$$2^h-1$
• Jeder vollständige Binärbaum hat eine ungerade Anzahl von Knoten.

Die Frage verwirrt mich ein wenig. Wenn Sie sich für Bäume mit einem Grad von höchstens interessieren , wie Wikipedia es vorsieht, stoßen wir auf das Problem, dass eine einzelne Kante n = 2 Knoten und n = 2 Blätter hat, aber n / 2 = 1 . Sowieso ist hier etwas nahes, das ein einfaches Argument hat. $3$$n=2$$n=2$$n/2 = 1$

Sei ein solcher Baum mit n Knoten und L Blättern. Da T ein Baum ist, gibt es n - 1 Kanten, und wenn wir sie doppelt zählen, sehen wir, dass 2 n - 2 ≤ L + 3 ( n - L ), was besagt, dass 2 L ≤ n + 2 und dies ist eng in den beiden -vertex Beispiel oben. Ich denke, wenn Sie annehmen wollen, dass es eine Wurzel von Grad zwei und n ≥ 3 gibt , können Sie dieses Argument verfeinern, um 2 L zu ergeben $T$$n$$L$$T$$n-1$