Zwei Funktionen , so dass aber

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Der Titel der Frage drückt aus, wonach ich suche - dies soll mir helfen, die Voraussetzungen für den Satz der nichtdeterministischen Zeithierarchie besser zu verstehen

Zum Beispiel erklärt das Arora-Barak-Buch den Satz mit und - aber ich kann das auch sehen! Ich versuche also besser zu verstehen, welche "zusätzliche" Zeit garantiert ist, indem ich spezifiziere, dass eine richtige Teilmenge von , , nicht ... $g(n) = n$ $G(n) = n^{1.5}$ $n \in o(n^{1.5})$ $\text{NTIME}(g(n))$ $\text{NTIME}(G(n))$ $g(n + 1) = o(G(n))$ $g(n) = o(G(n))$

— TCSGrad
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Ein Beispiel ist $g(n) = 2^{2^{n-1}}$ , $G(n) =2^{2^{n}}$ .

Wir haben $g(n) = \sqrt{G(n)}$ , damit $g(n) = o(G(n))$ .

Inzwischen natürlich $g(n+1) = G(n)$ damit $g(n+1) = \Theta(G(n))$ , damit $g(n+1)\neq o(G(n))$

Warum doppelt exponentiell? Wenn wir eins hinzufügen $n$ Wir wollen, dass der Effekt mehr als eine multiplikative Konstante ist (weil groß $O$ Notation verbirgt multiplikative und damit additive Konstanten). Machen wir es uns einfach und sagen wir, dass wir 1 hinzufügen möchten $n$ einen polynomiellen Effekt auf den Wert von haben $g(n)$ . Wenn Sie eine Konstante hinzufügen $n$ ::

Eine lineare Funktion wird um eine additive Konstante erhöht
Eine Exponentialfunktion wird um eine multiplikative Konstante erhöht
Eine doppelte Exponentialfunktion wird polynomiell erhöht (in unserem Beispiel also um eine Zweierpotenz) $g(n)^2 = G(n)$ )

Wir können auch haben $g(n) = n^n$ , $g(n) = n!$ usw., wo $G(n) = g(n-1)$ . Im Allgemeinen können wir lassen $g(n) = f(n)^n$ , wo $f(n) = \omega(1)$ und $f$ nimmt nicht ab. Dann haben wir:

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{G (n)} = lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{g (n + 1)} = lim_{n \to \infty} \frac{f (n)^{n}}{f (n + 1)^{n + 1}} \leq lim_{n \to \infty} \frac{f (n)^{n}}{f (n)^{n + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{f (n)} = 0

$\lim_{n\to\infty} \frac{g(n)}{G(n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{g(n)}{g(n+1)} = \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)^n}{f(n+1)^{n+1}} \leq \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)^n}{f(n)^{n+1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{f(n)} = 0$

Also haben wir gezeigt $g(n) = o(G(n))$ Verwenden der Grenzwertdefinition (der letzte Schritt ist weil $f(n) = \omega(1)$ ). Daher funktioniert wie $(\log\log n)^n$ und selbst $\alpha(n)^n$ wo $\alpha$ ist die inverse Ackermann-Funktion, wird den Trick auch für uns tun.

— SamM
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Kennt jemand eine kleinere oder einfachere

g

$g$ ,

G

$G$ welche verwenden diese Gliederung nicht, passen aber zu den Anforderungen des OP?

— SamM

1

g (n) = 1

$g(n)=1$ für ungerade

n

$n$ und

g (n) = n

$g(n)=n$ für gerade

n

$n$ .

G (n) = n g (n)

$G(n)=ng(n)$ .

— John L.

8

Nehmen $g(n)= n!$ und $G(n) = (n+1)!$ .

— Aryabhata
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