Wie zeige ich, ob ein PDA eine Zeichenfolge akzeptiert

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Wie zeige ich, dass das Problem der Entscheidung, ob ein PDA eine Zeichenfolge der Form akzeptiert, unentscheidbar ist? $\{ w!w \mid w \in \{ 0, 1 \}^*\}$

Ich habe versucht, dieses Problem auf ein anderes unentscheidbares zu reduzieren, z. B. ob zwei kontextfreie Grammatiken dieselbe Sprache akzeptieren. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich es als Unterprogramm verwenden soll.

— David Faux
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Hier ist mein Ansatz: Ich werde zeigen, dass Sie, wenn Sie Ihr Problem entscheiden können, das Korrespondenzproblem (PCP) von Post entscheiden können , das bekanntermaßen nicht entscheidbar ist.

Denken Sie daran, PCP ist ein Entscheidungsproblem, bei dem gefragt wird, ob Sie in einer Menge von Tupeln eine Sequenz (inkl. Wiederholung) erstellen können, so dass die verkettete s und die verketteten s dieser Sequenz bilden dasselbe Wort. Beachten Sie, dass das Alphabet mindestens 2 Zeichen haben muss. $2$ $P=\{(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\}$ $x_i$ $y_i$

Sei also eine Instanz des PCP. Betrachten Sie die folgende kontextfreie Grammatik, in der wir ein neues Terminalsymbol für das te Element in . Die Grammatik hat die folgenden Regeln: (Die Variable ist nur dazu da, auszuschließen ). $P$ $t_i$ $i$ $P$

\begin{aligned} S & \to X! Y \\ X & \to x_{1} X^{'} t_{1} ∣ x_{2} X^{'} t_{2} ∣ \dots x_{n} X^{'} t_{n} \\ X^{'} & \to x_{1} X^{'} t_{1} ∣ x_{2} X^{'} t_{2} ∣ \dots x_{n} X^{'} t_{n} ∣ ε \\ Y & \to y_{1} Y t_{1} ∣ y_{2} Y t_{2} ∣ \dots y_{n} Y t_{n} ∣ ε \end{aligned}

$\begin{align} S& \to X \; ! \;Y \\ X& \to x_1 X' t_1 \mid x_2 X' t_2 \mid \cdots x_n X' t_n \\ X'& \to x_1 X' t_1 \mid x_2 X' t_2 \mid \cdots x_n X' t_n \mid \varepsilon\\ Y& \to y_1 Y t_1 \mid y_2 Y t_2 \mid \cdots y_n Y t_n \mid \varepsilon \\ \end{align}$

X^{'}

$X'$

S \Rightarrow!

$S\Rightarrow !$

Natürlich können wir bei jeder Grammatik einen entsprechenden PDA finden, der dieselbe Sprache wie die Grammatik akzeptiert. Konstruieren Sie also den entsprechenden PDA und verwenden Sie dann den hypothetischen Algorithmus für Ihr Problem, um zu bestimmen, ob dieser PDA ein Wort der Form akzeptiert (dh ob man aus dieser Grammatik ein Wort der Form ableiten kann ). Ich werde zeigen, wie diese Informationen verwendet werden, um die PCP-Instanz zu lösen . $u!v$ $u!v$ $P$

Nehmen wir jetzt an, dass ein Wort in dieser Grammatik ist. Das Wort besteht aus zwei Teilen, dem Suffix, das aus den Terminals besteht, und dem Rest, der als Präfix bezeichnet wird. Gleiches gilt für . Wir haben genau dann, wenn ihre Präfixe und Suffixe übereinstimmen. Die Suffixe stimmen nur überein, wenn wir dieselbe Folge von Tupeln aus , um die Wörter und . Die Präfixe von und stimmen überein, wenn die Verkettung der s und s (basierend auf der durch die s gegebenen umgekehrten ) dieselbe ist. Daher $u!v$ $u$ $t_i$ $v$ $u=v$ $P$ $u$ $v$ $u$ $v$ $x_i$ $y_i$ $t_i$ $u=v$ genau dann, wenn es eine Lösung für die PCP-Instanz . $P$

Wenn es eine Lösung für die PCP-Instanz gibt, ist es ähnlich, aus der Lösung ein Wort der Form zu konstruieren , das von dieser Grammatik abgeleitet werden kann. $P$ $u!v$

Daraus folgt, dass die PCP-Instanz genau dann eine Lösung hat, wenn diese Grammatik ein Wort der Form . Wenn es einen Algorithmus zur Entscheidung Ihres Problems gäbe, könnten wir ihn zur Lösung von PCP verwenden. Aber natürlich ist PCP als unentscheidbar bekannt, daher ist auch Ihr Problem unentscheidbar. $P$ $u!v$

— A.Schulz
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Nett! Auf jeden Fall einfacher als meine eigene Lösung. +1

— Hendrik

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Es fällt mir schwer, dem Ablauf dieser Antwort zu folgen. Warum streiten Sie sich im dritten Absatz über die Existenz von PDA / Grammatik? Wenn ich richtig lese, möchten Sie PCP-Instanzen Grammatiken zuordnen und so die Frage reduzieren, ob PCP entscheidbar ist. Zu diesem Zweck müssen Sie auch die Rückseite des letzten Absatzes zeigen, nämlich dass, wenn nein

akzeptiert werden, hat der PCP keine Lösung. (Netter Trick mit dem

übrigens.)

u! u

$u!u$

t_{i}

$t_i$

— Raphael

@ Raphael, ich habe die Antwort bearbeitet, um Ihren Kommentar zu adressieren. Gute Punkte - danke!

— DW

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Der Ansatz könnte wie folgt sein. Versuchen Sie, eine kontextfreie Sprache (= PDA) zu erstellen, die die Berechnungsschritte eines TM codiert, sodass die vollständige Berechnung erfolgreich ist, wenn ein Wort der von Ihnen beschriebenen Form vorhanden ist.

Zuerst müssen Sie separate Konfigurationen codieren: Bandinhalt + Status + Positionskopf (Sie haben dies für die Grammatikäquivalenz gesehen). Eine kontextfreie Sprache kann einen einzelnen Schritt einer Berechnung codieren, vorausgesetzt, Sie verwenden das Spiegelbild , wobei das Spiegelbild (Umkehrung) von $$ C $ bezeichnet. (Ich bin hier schlampig: Möglicherweise müssen Sie die Konfiguration und ihre Beschreibung unterscheiden.) $C\vdash C'$ $C\#m(C')$ $m(C)$

Betrachten Sie nun die Sprache der einzelnen Schritte, die mit der Sprache der doppelten Konfigurationen : mit für jedes , . Dies ist kontextfrei, zusätzlich Code als Anfang und als endgültige Konfiguration. $C_0\#C_1\#m(C_2)\#C_3\#m(C_4)\# \dots C_{2n-1}\#m(C_{2n})\#C_f!$ $C'_1\#m(C'_1)\#C'_2\#m(C'_2)\#\dots C'_{n+1}\#m(C'_{n+1})$ $k$ $C_{2k-1} \vdash (C_{2k})$ $C_0$ $C_f$

Jetzt stellt der erste Teil sicher, dass wir aufeinanderfolgende Schritte haben, der zweite Teil, dass aufeinanderfolgende Konfigurationen gleich sind. Wenn beide Teile übereinstimmen, haben wir eine Berechnung. Was wir nicht entscheiden können.

Das ist die Idee. Möglicherweise sind einige Indizes falsch, und die gesamte Sequenz muss binär codiert werden, aber das kann gelöst werden.

— Hendrik Jan.
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Ich hab es verstanden. Der Teil "Betrachten Sie nun die Sprache der einzelnen Schritte, die mit der Sprache der doppelten Konfigurationen verknüpft sind ..." könnte jedoch von weiteren Erklärungen profitieren. Sie könnten beispielsweise die richtigen Indizes verwenden. Wie auch immer, es ist eine schöne Idee.

— A.Schulz