Kann eine teilweise Sortierung bei den Suchkosten in Arrays helfen?

Das Nachschlagen in einer unsortierten Liste ist eine zeitaufwändige Aufgabe $O(n)$. Wenn die Liste jedoch sortiert ist, ist die zeitliche Komplexität gleich$O(\log(n))$. Das heißt, es lohnt sich manchmal, ein Array zu sortieren. Dies ist jedoch ein Kompromiss, da ein Sortieralgorithmus eine zeitliche Komplexität von hat$O(n\log(n))$.

Soweit ich weiß, können Sie ein Array nicht in weniger als sortieren $O(n\log(n))$ Zeit. Ich frage mich jedoch, ob es einen Algorithmus gibt, der das Array teilweise in kürzerer Zeit sortieren kann . Ich bin mir ziemlich sicher, dass Sie einen Wert in einem so teilweise sortierten Array in nicht nachschlagen können$O(\log(n))$ Zeit, aber kannst du es besser machen als $O(n)$?

Kurz gesagt, ist es möglich, ein unsortiertes Array mit einem Algorithmus schneller als zu verarbeiten $O(n\log(n))$ so dass ein Suchalgorithmus eine Suche schneller als durchführen kann $O(n)$, wenn auch nicht so schnell wie $O(\log(n))$?

Wenn Sie "Balanced Quicksort" (unter Verwendung des exakten Medians bei jedem Schritt) bis zur Tiefe ausführen $k$ (auf Kosten von $O(n k)$) erhalten Sie eine Partition des ursprünglichen Arrays in $2^k$ sortierte Teile von $n/2^k$jeweils unsortierte Elemente. Wenn ein Element gegeben ist, können wir das richtige Teil rechtzeitig finden$O(\log(2^k)) = O(k)$ Verwenden Sie die binäre Suche und suchen Sie sie dann mit einer zusätzlichen $O(n/2^k)$für eine Gesamtkomplexität von $O(n/2^k + k)$.

Wenn $k = o(\log n)$ dann braucht die Teilsortierung Zeit $o(n\log n)$. Wenn$k = \omega(1)$ dann braucht der Suchalgorithmus Zeit $o(n)$. Also wenn$1 \ll k \ll \log n$ wir bekommen $o(n\log n)$ Vorverarbeitungszeit und $o(n)$Suchzeit. Zum Beispiel wenn$k = \log\log n$ dann dauert die Vorverarbeitung $O(n\log\log n)$ und Nachschlagen dauert $O(n/\log n)$.