Konstruktive Version der Entscheidbarkeit?

Heute beim Mittagessen habe ich dieses Problem mit meinen Kollegen angesprochen , und zu meiner Überraschung hat Jeff E's Argument, dass das Problem entscheidbar ist, sie nicht überzeugt ( hier ist ein eng verwandter Beitrag zu mathoverflow). Eine Problemerklärung, die einfacher zu erklären ist ("ist P = NP?"), Ist ebenfalls entscheidbar: entweder Ja oder Nein, und so entscheidet eines der beiden TMs, die immer diese Antworten ausgeben, über das Problem. Formal können wir die Menge bestimmen { P , N P } | } : entweder die Maschine, die 1 nur für Eingabe 1 ausgibt, oder ansonsten $S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$entscheidet es oder die Maschine, die dies für Eingabe tut .$2$

Einer von ihnen hat es auf diesen Einwand reduziert: Wenn das Kriterium der Entscheidbarkeit so schwach ist - was impliziert, dass jede Frage, die wir als eine Sprache formalisieren können, die wir als endlich erweisen können, entscheidbar ist -, sollten wir ein Kriterium formalisieren, das macht kein Problem mit endlich vielen möglichen Antworten, die auf diese Weise formalisierbar sind, entscheidbar. Während das Folgende möglicherweise ein stärkeres Kriterium ist, schlug ich vor, dass dies möglicherweise präzisiert werden könnte, indem verlangt wird, dass die Entscheidbarkeit von der Fähigkeit abhängt, ein TM zu zeigen, und im Grunde eine intuitionistische Sicht der Angelegenheit vorschlägt (zu der ich nicht neige - noch tun alle meine Kollegen, alle akzeptieren das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte).

Haben die Menschen eine konstruktive Theorie der Entscheidbarkeit formalisiert und möglicherweise studiert?

Ich denke, die Frage, die Sie stellen möchten, lautet: "Ist die Berechenbarkeitstheorie konstruktiv?". Und dies ist eine interessante Frage, wie Sie an dieser Diskussion auf der Mailingliste "Grundlagen der Mathematik" sehen können.

Es ist nicht überraschend, dass dies in Betracht gezogen wurde, da viele Rekursionstheorien von Menschen mit konstruktiver Sensibilität entwickelt wurden und umgekehrt. Siehe z. B. Bessons Buch und die ehrwürdige Einführung in die Metamathematik . Es ist ziemlich klar, dass die ersten Kapitel der Rekursionstheorie es überleben, sich mit minimalen Änderungen zu einer konstruktiven Umgebung zu bewegen: z. B. bleiben der snm-Satz, der Rice-Satz oder die Kleene-Rekursionssätze unverändert.

Nach den ersten Kapiteln wird es allerdings etwas schwieriger. Insbesondere die höheren Ebenen der arithmetischen Hierarchie werden normalerweise durch einen Wahrheitsbegriff definiert. Insbesondere weit verbreitete Theoreme wie das Low-Basis-Theorem scheinen explizit nicht konstruktiv zu sein.

Eine vielleicht pragmatischere Antwort ist jedoch, dass diese "paradoxerweise berechenbaren Sprachen" einfach eine Eigenart sind, die wie nicht messbare Mengen von Realitäten ausführlich untersucht werden kann (und wurde!), Aber sobald die anfängliche Überraschung stattgefunden hat überwunden, kann man zu interessanteren Dingen übergehen.

In der klassischen Logik ist jede Aussage in einem bestimmten Modell entweder wahr oder falsch. Zum Beispiel ist jede Aussage erster Ordnung über natürliche Zahlen in der "realen Welt" (in diesem Zusammenhang als wahre Arithmetik bekannt ) entweder wahr oder falsch . Was ist dann mit Gödels Unvollständigkeitssatz? Es heißt nur, dass keine rekursiv aufzählbare Axiomatisierung der wahren Arithmetik vollständig ist.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$bis man gefunden ist und dann entsprechend vorgeht. Wir können beweisen, dass diese Maschine Ihre Sprache akzeptiert, obwohl wir immer noch nicht genau wissen, was diese Sprache ist!

$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

(Haftungsausschluss, eine unscharfe Antwort auf eine unscharfe Frage, die vielleicht besser zur Theorie passt ). Konstruierbarkeit ist eine "große Sache" in der theoretischen Mathematik, zeigt sich jedoch insbesondere in kontinuierlichen Kontexten wie dem semifamen Banach-Tarski-Paradoxon . Diese Paradoxien scheinen im Allgemeinen nicht in "diskreterem" CS "bisher" aufgetaucht zu sein . Was ist also (die Analogie / Parallele von) Konstruierbarkeit in CS? Die Antwort scheint nicht so klar zu sein. Es ist ein Konzept, das mehr aus der mathematischen Forschung als aus CS stammt, und die beiden scheinen "bisher" nicht zu sehr mit dieser speziellen Krux verbunden zu sein .

Eine Antwort ist, dass die Theorie der Entscheidbarkeit tatsächlich eine Variation der Konstruierbarkeit zu sein scheint, dh es ist eine strenge Methode, um zu bestimmen, welche Mengen berechenbar sind und welche eng miteinander verbunden zu sein scheinen.

Die Konstruierbarkeit im Kern befasst sich mit einigen Fragen der "Unabhängigkeit von ZFC", und diese Bereiche werden in diesem Artikel von Aaronson ausführlich in Bezug auf P gegen NP behandelt. Ist P gegen NP formal unabhängig? .

Es ist nicht wirklich gezeigt, dass "Paradoxe" auf Konstruierbarkeitsprobleme hinweisen, aber man könnte dies als groben Leitfaden für eine grobe Analogie wie in Aaronsons Artikel nehmen, in dem er z. B. Orakelergebnisse betrachtet, die insbesondere Baker einen "paradoxen" Geschmack zu haben scheinen Gill Solovay 1975 Ergebnis , dass Orakel sowohl solche bestehen , daß P ^A = NP ^A und P ^B ≠ NP ^B . andere paradox wie THM sind die Blum Lücke und Speedup Theoreme.

auch ist es nur ein Zufall , dass CS auf konzentriert sich „Zeit / Raum“ konstruierbar Funktionen in seiner grundlegenden Theoreme Hierarchie Zeit / Raum? (die dann Blum-ähnliche Paradoxien fast "von Natur aus" ausschließen ?)

Eine andere Antwort ist, dass dies derzeit aktiv untersucht / erforscht wird, z. B. wie in diesem Befund. Es ist bekannt, dass Konstruierbarkeit mit "großen Kardinälen" in der Mathematik verbunden ist: Gewinnstrategien für unendliche Spiele: von großen Kardinälen bis zur Informatik / Ressayre.

Unter Verwendung des großen Kardinalaxioms von „Sharps“ erwies sich Martin als analytische Bestimmtheit: Die Existenz einer Gewinnstrategie für einen der Spieler in jedem unendlichen Spiel perfekter Informationen zwischen zwei Spielern, vorausgesetzt, der Gewinnsatz eines der Spieler ist zufällig eine Analyse eins. Ich modifiziere und ergänze seinen Beweis, um einen neuen Beweis für den Satz von Rabin, Buechi-Landweber, Gurevich-Harrington über die Bestimmung des endlichen Zustands zu erhalten: Existenz einer Gewinnstrategie, die von einer endlichen Zustandsmaschine berechnet wird, wenn die Gewinnsätze des Spielers selbst endlich sind Staat akzeptiert.