Wie finde ich den kürzesten Weg von einem Scheitelpunkt in Menge zu Menge

Wenn ich einen Graphen , eine Teilmenge der Eckpunkte und eine zweite Menge von Eckpunkten , was ist der beste Weg, um den kürzesten Weg zu finden, der die verbindet zwei Sets? Das heißt, wir suchen einen kürzesten Weg unter allen - Wegen. Wir können auch davon ausgehen, dass alle Kantengewichte positiv sind. $G=(V,E)$ $S \subset V$ $S' \subset (V\setminus S)$ $S$ $S'$

So bin ich bisher mit diesem Problem umgegangen:

Ich habe bereits die Distanzmatrixinformationen für Graph die durch Anwenden des Floyd-Warshall-Algorithmus in einer früheren Operation berechnet wurden . $(d)$ $G$

Ich iteriere dann über alle Eckpunkte in für jeden Eckpunkt in und finde das Paar mit dem kleinsten Wert in Matrix . $S$ $S'$ $(s_1,s_2)$ $d$

Der Dijkstra-Algorithmus wird dann verwendet, um den kürzesten Weg zwischen und zu berechnen , so dass die Verbindungsscheitelpunktsätze und . $s_1$ $s_2$ $S$ $S'$

Gibt es einen effizienteren Weg, um dasselbe Ergebnis zu erzielen?

— guskenny83
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Wenn alle Kantenlängen nicht negativ sind, kann dies in Zeit mit einem einzigen Aufruf des Dijkstra-Algorithmus gelöst werden. $O(|E| \lg |V|)$

Wir werden die Grafik etwas ändern , indem Sie einen neuen Vertex Zugabe . Fügen Sie außerdem jedem Scheitelpunkt in eine Kante der Länge 0 von . $s$ $s$ $S$

Führen Sie als Nächstes den Dijkstra-Algorithmus ausgehend vom Quellscheitelpunkt . Dijkstra-Algorithmus berechnen Sie den Abstand von zu jedem anderen Eckpunkt , das heißt, es wird berechnet für alle . Beachten Sie, dass genau die Länge des kürzesten Pfades von einem Scheitelpunkt in zum Scheitelpunkt . $s$ $s$ $v$ $d(s,v)$ $v \in V$ $d(s,v)$ $S$ $v$

Berechnen Sie schließlich . Dies ist die Länge des kürzesten Weges von einem Scheitelpunkt in zu einem Scheitelpunkt in . Das ist deine Antwort. $\min \{ d(s,v) : v \in S' \}$ $S$ $S'$

Floyd-Warshall muss nicht ausgeführt werden.

Wenn Sie negative Flanken haben können, kann dies in Zeit erfolgen. Ersetzen Sie einfach den Dijkstra-Algorithmus durch den Bellman-Ford-Algorithmus. $O(|V| \cdot |E|)$

— DW
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Sie können sogar die Berechnung des Minimums speichern, indem Sie einen weiteren neuen Scheitelpunkt für hinzufügen . (Man sollte beachten, dass die Laufzeitgrenze annimmt , was vernünftig ist; kann wahrscheinlich hier als verbunden angenommen werden.)

S^{'}

$S'$

| E | \in Ω (| V |)

$|E| \in \Omega(|V|)$

G

$G$

— Raphael

danke für deine antwort, das macht sehr viel sinn. In Bezug auf Ihren Punkt, Floyd-Warshall nicht ausführen zu müssen, wäre es schneller, eine Suche im Entfernungsdiagramm durchzuführen, wenn ich Floyd-Warshall bereits für etwas anderes ausgeführt habe und diese Informationen bereits verfügbar habe? oder nicht? Da wir ohnehin dijkstra ausführen müssen, ist es nur schneller, die Dummy-Vertex-Methode zu verwenden?

— Guskenny83

@ guskenny83, es kommt darauf an. Wenn Sie Floyd-Warshall bereits ausführen, dauert es , bis alle -Einträge in der Matrix nach gesucht sind, um den kürzesten Pfad mithilfe seiner Ausgabe zu finden . Dies kann langsamer oder schneller sein als das Ausführen des Dijkstra-Algorithmus, abhängig von der Größe der Mengen und des Graphen. Für spärliche Graphen und große Mengen ist es im schlimmsten Fall langsamer.

O (| S | \cdot | S^{'} |)

$O(|S| \cdot |S'|)$

d [u, v]

$d[u,v]$

u \in S, v \in S^{'}

$u \in S, v \in S'$

S, S^{'}

$S,S'$

S, S^{'}

$S,S'$

— DW