Kolmogorov-Komplexität der String-Verkettung

Wenn $K(s)$ ist die Kolmogorov-Komplexität der Saite $s \in \{0,1\}^*$ ,

Können wir die folgende Aussage beweisen (oder widerlegen):

"Jede Zeichenfolge $s$ ist ein Präfix einer inkompressiblen Zeichenfolge; dh für jede Saite $s$ Es gibt eine Zeichenfolge $r$ so dass $K(sr) \geq |sr|$ "?

Sehr informell (und vielleicht nicht zu aussagekräftig): das wissen wir $K(r) \leq |r| + O(1)$ ;; wenn wir eine ausreichend große inkompressible Zeichenfolge auswählen $r$ können wir die "verwenden" $O(1)$ um die Komprimierbarkeit der angegebenen Zeichenfolge zu "maskieren" $s$ ?

Ein ähnliches (aber unterschiedliches) Ergebnis ist das für jedes $c$ , wir können finden $s$ und $r$ so dass: $K(sr) > K(s) + K(r) + c$

computability kolmogorov-complexity

— Vor
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Bedeutet inkompressibel, dass die Länge der Zeichenfolge

s

$s$ ist eine Untergrenze für die kürzeste Beschreibung

K (s)

$K(s)$ ?

— Saadtaame

@saadtaame: das heißt das

K (s) \geq | s |

$K(s) \geq |s|$

— Vor dem

Ihre Vermutung ist falsch. Für einige Konstanten $C,D$ , das hält es $K(sr) \leq 2K(s) + K(r) + C \leq 2K(s) + |r| + D$ (Beweis: Verwenden Sie zum Generieren eine universelle Turingmaschine $s$ und dann $r$ ;; du brauchst etwas mehr als $K(s)+K(r)$ um beide Programme zu speichern $2K(s)+K(r)$ ist ein Overkill). Deshalb wenn $2K(s) + D < |s|$ , Ihre Vermutung hält nicht. So einfache Saiten $s$ sicherlich existieren zum Beispiel $K(0^n) = O(\log n)$ .

— Yuval Filmus
quelle

Es scheint okay zu sein. Ich dachte, dass

D

$D$ kommt drauf an

r

$r$ , aber sobald die UTM behoben ist, ist sie eine Konstante. Eine weitere Überlegung: Bei der Verkettung der beiden Zeichenfolgen muss hinzugefügt werden

\log | s |

$\log |s|$ Bits (um das Programm für abzugrenzen

s

$s$ aus dem Programm für

r

$r$ ), also funktioniert Ihr Beweis nicht, wenn wir die "Vermutung" in "jede inkompressible Zeichenfolge " ändern

s

$s$ ist ein Präfix einer inkompressiblen Zeichenfolge

r

$r$ "? Können Sie sehen, wie man es leicht (dis) beweist?

— Vor dem

Die letztere Vermutung ist seitdem weniger interessant

s

$s$ ist schon inkompressibel. Formal können Sie wählen

r = s

$r = s$ , obwohl diese Lösung leicht zu verbieten ist.

— Yuval Filmus

@ Yuval Filmus, haben Sie Ideen, wie Sie die zweite Aussage beweisen können, dh für jede

c

$c$ , wir können finden

s

$s$ und

r

$r$ so dass:

K. (s r) > K. (s) + K. (r) + c

$K(sr)>K(s)+K(r)+c$ Dies wird in Sipsers Buch angegeben und als Übungsproblem zurückgelassen, aber ich konnte es nicht beweisen, und ich bin sehr gespannt, welche Art von Beweistechnik verwendet werden sollte, um dieses Ergebnis zu zeigen. Vielen Dank!

— Han Zhao

Ich schlage vor, dass Sie dies als neue Frage mit der Schaltfläche "Frage stellen" posten. Wenn Sie das tun, kann es hilfreich sein, wenn Sie uns mitteilen, welche Ansätze Sie versucht haben. Es gehört definitiv nicht als Antwort hierher.

— DW