Unentscheidbare Probleme begrenzen physikalische Theorien

Bedeutet das Vorhandensein unentscheidbarer Probleme sofort, dass physikalische Systeme nicht vorhersehbar sind? Betrachten wir das Halteproblem. Zuerst konstruieren wir eine physikalische UTM, beispielsweise unter Verwendung der üblichen schaltungsbasierten Konstruktion. Dann kann es keine entscheidbare physikalische Theorie geben, die bei jeder Eingangseinstellung der Schaltungen bestimmen kann, ob die Schaltung anhält. Dies scheint eine Trivialität zu sein, aber gibt uns dies nicht eine schwache Art von Unvorhersehbarkeit ohne Bezug auf quanten- oder chaotische Überlegungen? Darüber hinaus können wir das obige Argument verstärken, indem wir feststellen, dass die schaltungsbasierte UTM nichts Besonderes ist. Daher ist das Verhalten eines physischen Systems auf jeder Ebene, auf der eine UTM aufgebaut werden kann, im Allgemeinen unentscheidbar.

Bearbeiten: Wie sowohl von Babou als auch von Ben Crowell hervorgehoben, ist meine vorgeschlagene Schaltungskonstruktion lediglich eine LBA. Wie ich in den Kommentaren dargelegt habe, finde ich es einfach und intuitiv, mir eine Maschine vorzustellen, die physisch, aber nicht linear begrenzt ist. Konstruieren Sie einfach eine Maschine (Roboter), die sich an einem Eingang beliebig oft mechanisch nach links / rechts bewegen kann, und nehmen Sie an, dass sie eine endliche, aber nicht ablaufende Stromquelle hat. Jetzt stoßen wir auch auf das Problem, dass das Universum endlich ist, aber das lässt uns entweder schließen, dass das Universum endlich ist, oder die ursprünglich erhoffte Konsequenz muss wahr sein (das wäre immer noch eine überraschende Schlussfolgerung aus dem obigen Argument). .

Dies war ursprünglich als Kommentar gedacht, da es die Frage ein wenig umgeht. Aber ich denke, es antwortet auf seine eigene Weise.

Was bisher bekannt ist oder versucht wurde, zeigt, dass die Verbindung der Berechnungstheorie mit der Physik ein ziemlich subtiles Unterfangen sein kann, und ich befürchte, dass der in der Frage vorgeschlagene Ansatz wahrscheinlich etwas zu grob ist. Ich bin mir nicht sicher, ob es viel besser ist als das klassische Argument, dass alles, was endlich ist, alles, was wir brauchen, die Theorie endlicher Zustandsautomaten ist und dass das Studium von Turing-Maschinen Zeitverschwendung ist. (Nicht meine Sicht der Dinge)

Warum sollten solche Probleme mit Vorsicht angegangen werden?

Ich sollte wahrscheinlich den obigen Vergleich mit dem Argument der endlichen Automaten motivieren. Meine Wahrnehmung ist, dass Berechenbarkeit, vielleicht sogar mehr als Komplexität, eine asymptotische Theorie ist: Was zählt, ist, was im Unendlichen geschieht. Aber wir wissen nicht, ob das Universum endlich oder unendlich ist. Wenn es endlich ist, was wäre dann der Sinn, unendliche Berechnungen in Betracht zu ziehen? Das Folgende betrifft die Physik, und ich bin kein Physiker. Ich gebe mein Bestes, um genau zu sein, aber Sie wurden gewarnt .

Wir sehen den Urknall oft als eine "Zeit", in der das gesamte Universum ein sehr kleines Etwas mit einer sehr kleinen Größe war. Aber wenn es irgendwann eine Größe hatte, wie hat es sich zu einem späteren Zeitpunkt in etwas Unendliches verwandelt? Ich versuche nicht zu sagen, dass es unmöglich ist ... Ich habe nicht die geringste Ahnung. Aber es könnte sein, dass es immer unendlich war.

$r$$r$aufgrund der Ausdehnung ist gleich der Lichtgeschwindigkeit. Nach dem, was wir derzeit wissen, wird uns ohne eine zukünftige Variation der Expansionsgeschwindigkeit nichts außerhalb dieser Sphäre jemals Sorgen machen. Das Universum ist für uns also für alle praktischen Zwecke endlich. Tatsächlich sind die Dinge noch schlimmer, wenn man den Inhalt dieses relevanten Universums betrachtet: Es schrumpft (es sei denn, es gibt einen Erstellungsprozess). Der Grund dafür ist, dass sich die Kugel über ihren eigenen Durchmesser hinaus ausdehnt und einen Teil ihres Inhalts mit sich bringt, der ebenfalls irrelevant wird. Bemerkung: Diese Kugel ist nicht das sogenannte beobachtbare Universum (das vom Alter des Universums abhängt), sie ist viel größer.

Somit ist nicht nur "unser" Universum endlich, sondern seine Ressourcen könnten schrumpfen. Es ist möglich, dass in so vielen Milliarden Jahren nur noch unsere Galaxie für uns relevant ist (vorausgesetzt, wir existieren noch), mit der Andromeda-Galaxie, die vorher die Milchstraße treffen wird.

Nun, ich weiß nicht, was derzeit als etabliert gilt, aber es zeigt zumindest, dass die Annahme der Unendlichkeit eine große Annahme ist.

Es ist jedoch so, dass physikalische Einschränkungen uns daran hindern, die Berechenbarkeitstheorie zu verwenden. Alles, was aus dem oben Gesagten geschlossen werden kann, ist, dass es möglicherweise unangemessen ist, physikalische Schlussfolgerungen aus der theoretischen Arbeit an Turingmaschinen und dem Halteproblem zu ziehen.

Die betreffenden Techniken können jedoch auch nützliche Ergebnisse liefern, wenn sie auf Geräte oder Formalismen angewendet werden, die nicht vollständig sind. Ich würde nicht versuchen, auf Details einzugehen, schon allein deshalb, weil algorithmische Komplexität nicht mein Gebiet ist, aber ich würde vermuten, dass Komplexität, wenn die Struktur des Universums diskret ist, in irgendeiner Form für das Verhalten einiger Phänomene relevant sein könnte. Natürlich ist dies nur wilde Spekulation meinerseits. Einige der Untersuchungen, auf die ich unten verweise, beziehen sich auf solche Diskriminierungsprobleme.

Einige Beispiele für Arbeiten in Bezug auf Physik und Berechnungstheorie

Es gibt eine beträchtliche Anzahl von Arbeiten, die versuchen, Berechnung und Physik miteinander zu verbinden, von denen ich die meisten kaum kenne. Verlassen Sie sich also bitte nicht auf irgendetwas, was ich sagen könnte , sondern nehmen Sie es einfach als Hinweis, um nach potenziell relevanten Arbeiten zu suchen.

Ein großer Teil dieser Arbeit befasst sich mit thermodynamischen Aspekten wie der Möglichkeit des reversiblen Rechnens ohne Energiekosten. Ich denke, dies hängt mit der funktionalen Programmierung zusammen, da es Nebenwirkungen sind, die Energie kosten (aber vertraue mir nicht). Sie können Wikipedia als Einführung nehmen, aber Google wird viele Referenzen liefern .

Es gibt auch Arbeiten, die versuchen, die These von Church-Turing und die Physik miteinander zu verbinden, unter anderem unter Einbeziehung der Informationsdichte. Siehe zum Beispiel:

• Die physikalische Church-Turing-These und die Prinzipien der Quantentheorie

• Rund um die physikalische kirchliche These: Zelluläre Automaten, formale Sprachen und die Prinzipien der Quantentheorie ,

• Physik und kirchliche Arbeit .

Ich erinnere mich vage, dass ich andere interessante Einstellungen dazu gesehen habe, aber es entgeht mir im Moment.

Dann haben Sie Lamports Arbeit über Uhrensynchronisation und Relativitätstheorie in verteilten Systemen .

Und natürlich haben Sie Quantencomputer, die anscheinend einige (erreichbare) Zeitkomplexitäten ändern, obwohl sie die Berechenbarkeit nicht beeinträchtigen.

Eine andere Einstellung ist Wolframs Arbeit zur Modellierung physikalischer Gesetze mit zellularen Automaten , obwohl die wirklichen Vorteile dieser Arbeit umstritten zu sein scheinen.

Ich denke, dass der Versuch, all diese Arbeiten zu verstehen, Sie näher an das Verständnis bringen könnte, wie Sie etwas Berechenbarkeitswissen mit (als impliziten) theoretischen Einschränkungen der physischen Welt verknüpfen können, obwohl der Trend bisher eher darin bestand, Einschränkungen der Berechenbarkeit mit (als Konsequenzen) zu verknüpfen von) Eigenschaften des physikalischen Universums.

Ein mögliches Problem dabei ist die Selbsteinbettung aller unserer Theorien (Mathematik, Berechnung, Physik, ...) innerhalb der Grenzen von Konzepten, die syntaktisch ausgedrückt werden können (dh durch eine Sprache) und die Ausdruckskraft einschränken könnten unserer Wissenschaft. Aber ich bin mir nicht sicher, ob der vorhergehende Satz eine Bedeutung hat ... Entschuldigung, es ist das Beste, was ich tun kann, um einen nagenden Zweifel auszudrücken.

Als Bericht über die persönliche Enttäuschung möchte ich hinzufügen, dass Physiker (zumindest auf http://physics.stackexchange.com ) nicht sehr einvernehmlich sind, um zu diskutieren, was andere Wissenschaften über physikalische Probleme zu sagen haben könnten (obwohl sie durchaus bereit sind, darüber zu diskutieren was die Physik über andere Wissenschaften zu sagen hat).

Die Frage fragt teilweise nach der Unvorhersehbarkeit physikalischer Systeme . Unentscheidbarkeit zeigt sich in einigen physikalischen Problemen. Eine frühe Umfrage hierzu ist von Wolfram, Unentscheidbarkeit und Intraktabilität in der theoretischen Physik (oder hier ), und dieser Bereich wächst weiter. Ein besserer Weg, um die physische inhärente Unvorhersehbarkeit zu verstehen, ist jedoch eher der sogenannte "empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen", auch bekannt als Schmetterlingseffekt . Dies kann mit dem Lorentz-Attraktor als Semi-Toy-Modell untersucht werden.

Die Frage ist interessant (vielleicht möchten Sie eine verwandte Frage überprüfen: "Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Halteproblem und der thermodynamischen Entropie?" )

Der Kern des Problems ist, was zuerst Mathematik oder Physik kommt? Nun, Physik ist die Antwort . Ein Zitat von Einstein sagt: " Die Art der Mathematik, die wir machen, hängt von der Welt ab, in der wir leben " (wenn ich mich nicht irre, ist dies in "Einstein, Philosoph-Scientist") (und eine andere verwandte und leicht umschriebene " Natur tut dies) kümmert sich nicht um unsere mathematischen Schwierigkeiten. Es integriert empirisch " ). In diesem Sinne spiegeln sich bestimmte physikalische Merkmale in der mathematischen Symbolik und Vorgehensweise wider. Man kann aber auch die gegenteilige Ansicht vertreten, dass Mathematik Physik definiert (eine Ansicht, die in bestimmten Kreisen sehr beliebt ist).

Es gibt eine Passage in der Einleitung des Buches "Lineare Algebra" von J. B. Fraleigh, R. A. Beauregard (ein gutes Buch zu diesem Thema und ein Punkt, den ich bei gegebener Gelegenheit ansprechen wollte).

Zahlen existieren nur in unseren Köpfen. Es gibt keine physische Einheit, die die Nummer 1 ist. Wenn dies der Fall wäre, wäre ich an einem Ehrenplatz in einem großen Wissenschaftsmuseum, und in der Vergangenheit würde ein stetiger Strom von Mathematikern 1 in Staunen und Ehrfurcht anstarren.

Dies ist jedoch nicht wahr , es gibt tatsächlich etwas, das wir erleben und das eins ist (buchstäblich) , die Sonne (Vorsicht, nicht die Sterne in der Nacht oder der Mond, der nicht unter allen Umständen als eins wahrgenommen wird, die Sonne, die einzig sichtbare Ding am Himmel bei Tageslicht). (und in der Tat war es historisch ein Gegenstand der Ehre und Ehrfurcht der Menschheit). Man kann weitergehen und andere Dinge diskutieren, die wir als zwei oder drei und vier erleben ( zwei Hände, fünf Finger usw.), aber der Hauptpunkt wurde angegeben (für weitere Informationen suchen Sie nach " Vorgeschichte und Geschichte von Zahlensystemen" ")

Sagen Sie für eine Minute, dass ein mathematisches Ergebnis etwas aussagen würde, aber dann würde eine physikalische Theorie ein Verfahren liefern, um das Gegenteil zu erreichen (effektiv ein konstruktiver Beweis des Gegenteils). Dann wäre etwas falsch, diese sind besonders verwandt, wenn sie genau den gleichen Formalismus verwenden. Es ist intuitiv, dass diese irgendwie zusammenhängen sollten.

Zum Beispiel würde ein mathematisches Unmöglichkeitsergebnis die mathematische Beschreibung einer physikalischen Theorie einschränken, die ein solches Ergebnis benötigen würde und so weiter. Ein Beispiel, das ich jetzt verwenden kann, ist die sogenannte "Theorie von allem". Es soll in mathematischer Form alle physikalischen Wechselwirkungen beschreiben, die stattfinden, also tatsächlich alles beschreiben. Nach Goedels Theorem ist jedoch bekannt, dass eine solche Beschreibung in dem einen oder anderen Sinne unvollständig wäre. Sagt dies etwas über die Welt aus, in der wir leben? Höchstwahrscheinlich.

Aber imposibility Ergebnisse sind in rein physikalisch bekannt und die meisten von ihnen sind auf Thermodynamik bezogen. Zum Beispiel "Wärme fließt von heiß nach kalt". Dies ist ein Unmöglichkeitsergebnis. Dies schränkt jedoch auch jedes mathematische Ergebnis ein, das (wenn es im richtigen Kontext angewendet wird) impliziert, dass Wärme von kalt nach heiß fließt. Dies geschieht jedoch nicht. So kann die Mathematik durch physikalische Begriffe beschränkt werden . Die eigentliche Frage ist, was der genaue Zusammenhang (falls vorhanden) zwischen diesen beiden ist, und dies ist eine sehr interessante Frage mit interessanten und weitreichenden Ergebnissen. Zum Beispiel können Sie die Arbeit von G. Chaitin überprüfen, die Informationstheorie, Goedels Theoreme und biophysikalische Systeme in Beziehung setzt für einen Start. Einige andere Verbindungen wurden bereits erwähnt, wie reversibles Rechnen, Quantenrechnen und so weiter.

Denken Sie nicht zuletzt daran, dass die Physik auf Experimenten beruht, um Dinge zu formulieren und zu verifizieren, und nicht auf symbolischen Beweisen . (A) Mathematische Beschreibung einer physikalischen Theorie ist wichtig in Bezug auf den Berechnungen, so dass eine problematische Mathematik kann beschränken oder auf andere Weise darstellt Probleme bei der Rechenleistung der Theorie, Experiment bleibt jedoch. Und denken Sie daran, dass Physiker bei Bedarf häufig zu den Entwicklern neuer Mathematik gehören (z. B. Kalkül- und Differentialgleichungen, Wahrscheinlichkeiten, Tensoranalyse, Renormierungsverfahren in der Quantenmechanik, analytische Regularisierung usw.).

In Bezug auf Ihr Beispiel, bei dem Unvorhersehbarkeit mit einem TM verbunden wird, kann die Verbindung hergestellt werden, und es ist möglicherweise ein unbegrenztes Band erforderlich, vorausgesetzt, die Maschine muss mit unendlicher Genauigkeit berechnen (dh irrationale / transzendentale Zahlen, die in keiner Weise von einer physischen ausgeschlossen sind System). Dann ist eine LBA-Maschine nicht leistungsfähig genug, um ein bestimmtes physikalisches System zu berechnen, und man gibt die UTM mit unendlichem Band ein, bei der ein Halteproblem auftritt. Die Frage, ob Unvorhersehbarkeit auf Anfangsbedingungen (die gelehrte formale Definition von chaotischem Verhalten) oder auf die Berechnung selbst zurückzuführen ist, ist nicht von entscheidender Bedeutung, da das Problem nur an einen anderen Ort verschoben wird, anstatt es zu adressieren.

Babou,

Es ist in der Tat eine sehr interessante Frage, aber wie oben gesagt, wurde viel Literatur zu diesem Thema produziert. Das Mindeste, was Sie sagen können, wenn Sie alles gelesen haben, ist, dass die Zuordnung von UTM zu physischen Systemen alles andere als einfach ist - wie verführerisch die Idee auch sein mag.

Persönlich gehe ich gerne von dem von Landauer eingeführten und in den vorherigen Antworten erwähnten Konzept des reversiblen Rechnens aus. Es scheint eine konzeptionelle Verbindung zwischen Entropie und UTM zu geben.

Stellen Sie sich das so vor: Stellen Sie sich vor, Sie möchten mit einem deterministischen Plan von Punkt A nach Punkt B (geografisch getrennt) gehen (dh mit einer Reihe von Schritten, die wie bei einer UTM im Voraus notiert werden können: Gehen Sie 100 m geradeaus und biegen Sie rechts ab die Bäckerei, zu Fuß 50m etc.). Sie können die Strecke einmal gehen. Zweimal. Drei Mal. Wie oft kannst du das machen? Wenn Sie nicht unendlich viel Nahrung und Wasser in Ihren Plan aufnehmen, müssen Sie nach einer begrenzten Anzahl von Fahrten anhalten. Obwohl ein UTM-Band unendlich ist, muss die Anzahl der Schritte des TM selbst in einer endlichen Anzahl von Zeichen geschrieben werden. Daher kann Ihr Plan nicht unendlich viel Nahrung und Wasser enthalten.

Jetzt ist Energie eine konservative Größe. Man könnte also denken, dass eine begrenzte Anzahl von Rückstellungen ausreichen sollte. Aber das ist hier eindeutig nicht Ihr Problem. Selbst wenn Sie sehr langsam zwischen A und B reisen, verwandelt Ihr Körper Ihre Nahrung in etwas, das Sie nicht mehr konsumieren können. Beachten Sie, dass Sie Ihren "Plan" nicht mehr mit einer endlichen Anzahl von Zeichen schreiben können, wenn Sie versuchen, diesem Problem zu entkommen und unendlich langsam (quasistatisch zwischen A und B) zu gehen. Es ist also die Zunahme der thermodynamischen Entropie (Abbau von Nahrung und Wasser durch die Verarbeitung Ihres Körpers), die die Anzahl der Reisen, die Sie unter Einhaltung eines deterministischen Plans (dh einer UTM) unternehmen können, zu begrenzen scheint.

Wenn dies richtig ist, muss die Unvorhersehbarkeit von TM auf die Zunahme der thermodynamischen Entropie abgebildet werden.Beachten Sie, dass dies ziemlich kontraintuitiv erscheint (wie bereits erwähnt, ist diese Art der Abbildung alles andere als trivial): Bis ins Unendliche führt die Zunahme der thermodynamischen Entropie zu einem Gleichgewicht, dh zu etwas Stabilem; Die gleiche unendliche Grenze der entsprechenden UTM führt jedoch zu einem zufälligen Verhalten (dh wir sind uns nicht sicher, welche Art von Ausgabe vorliegt). Das ist noch auffälliger, wenn ein Ball eine konvexe Kurve mit Reibungen hinunter rollt: Durch die thermodynamische Entropie stoppt der Ball bei der niedrigen Ebbe der Kurve, was leicht vorherzusagen ist. aber die äquivalente UTM wird Ihnen sagen, dass am Ende "etwas Zufälliges" passiert, das nicht vorhergesagt werden kann. Müssen wir diese Unvorhersehbarkeit auf die zufällige Bewegung von Atomen abbilden, die durch die Wärmeableitung der Bewegung der Kugel gegen die Oberfläche der Kurve erzeugt wird? Das'

Ich hoffe, das hilft!

Ich denke, ein gutes Modell dafür ist Conways Lebensspiel.

Seit wir die Regeln erfunden haben, kennen wir sie perfekt. Dies ist analog zu einer physikalischen Theorie.

Trotz der Einfachheit der Regeln und der Tatsache, dass wir sie kennen, ist das Leben unentscheidbar .

Auch wenn wir alle Gesetze der Physik gelernt haben, könnte sich herausstellen, dass sie ebenfalls unentscheidbar sind.

Sie können wirklich nichts dagegen tun. Eine Sache, die Sie jedoch beachten sollten, ist, dass Sie Conways Lebensspiel für eine endliche Anzahl von Schritten vorhersagen können . Dies könnte sich für die Physik als gleich herausstellen.

Bedeutet das Vorhandensein unentscheidbarer Probleme sofort, dass physikalische Systeme nicht vorhersehbar sind?

Nein.

Zuerst konstruieren wir eine physikalische UTM, beispielsweise unter Verwendung der üblichen schaltungsbasierten Konstruktion.

Eine universelle Turingmaschine ist eine Turingmaschine. Eine Turingmaschine hat ein unendliches (oder unendlich erweiterbares) Band. Daher können Sie keine aus Schaltkreisen bauen. Was Sie bauen können, ist ein linear begrenzter Automat (LBA).

Dann kann es keine entscheidbare physikalische Theorie geben, die bei jeder Eingangseinstellung der Schaltungen bestimmen kann, ob die Schaltung anhält.

Das Problem des Anhaltens ist für einen LBA entscheidbar, sodass Ihr Argument fehlschlägt.