Gibt es einen konkreten Zusammenhang zwischen Gödels Unvollständigkeitssatz, dem Halteproblem und universellen Turingmaschinen?

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Ich habe immer vage gedacht, dass die Antwort auf die obige Frage im folgenden Sinne positiv war. Der Unvollständigkeitssatz von Gödel und die Unentscheidbarkeit des Halteproblems sind negative Ergebnisse in Bezug auf die Entscheidbarkeit und werden durch diagonale Argumente (und in den 1930er Jahren) begründet. Sie müssen also irgendwie zwei Möglichkeiten sein, die gleichen Dinge zu betrachten. Und ich dachte, dass Turing eine universelle Turing-Maschine verwendete, um zu zeigen, dass das Stopp-Problem unlösbar ist. (Siehe auch diese math.SE- Frage.)

Aber jetzt, wo ich (einen Kurs in Berechenbarkeit lehrend) näher auf diese Dinge eingehe, bin ich ziemlich verwirrt von dem, was ich finde. Deshalb möchte ich etwas Hilfe bei der Klärung meiner Gedanken. Mir ist klar, dass Gödels diagonales Argument auf der einen Seite sehr subtil ist: Es erfordert viel Arbeit, eine arithmetische Aussage zu erstellen, die so interpretiert werden kann, dass sie etwas über die eigene Ableitbarkeit aussagt. Andererseits ist der Beweis für die Unentscheidbarkeit des Halteproblems, das ich hier gefunden habe, äußerst einfach und erwähnt nicht einmal ausdrücklich Turingmaschinen, geschweige denn die Existenz von universellen Turingmaschinen.

Eine praktische Frage zu Universal-Turingmaschinen ist, ob es von Bedeutung ist, dass das Alphabet einer Universal-Turingmaschine mit dem der simulierten Turingmaschinen übereinstimmt. Ich dachte, das wäre notwendig, um ein richtiges diagonales Argument zu finden (die Maschine simulieren zu lassen), aber ich habe diese Frage in der verwirrenden Sammlung von Beschreibungen von Universalmaschinen, die ich im Netz gefunden habe, nicht beachtet. Wenn nicht wegen des Halteproblems, sind universelle Turingmaschinen in jeder diagonalen Argumentation nützlich?

Schließlich bin ich durch diesen weiteren Abschnitt verwirrtdesselben WP-Artikels, der besagt, dass eine schwächere Form von Gödels Unvollständigkeit aus dem Halteproblem folgt: "Eine vollständige, konsistente und fundierte Axiomatisierung aller Aussagen über natürliche Zahlen ist nicht erreichbar", wobei "Klang" die Schwächung sein soll. Ich weiß, eine Theorie ist konsistent, wenn man keinen Widerspruch herleiten kann, und eine vollständige Theorie über natürliche Zahlen scheint zu bedeuten, dass alle wahren Aussagen über natürliche Zahlen darin abgeleitet werden können; Ich weiß, dass Gödel sagt, dass eine solche Theorie nicht existiert, aber ich weiß nicht, wie ein solches hypothetisches Tier möglicherweise nicht gesund sein kann, dh auch Aussagen ableiten kann, die für die natürlichen Zahlen falsch sind: Die Verneinung einer solchen Aussage wäre wahr und daher der Vollständigkeit nach auch ableitbar, was der Konsistenz widersprechen würde.

Ich würde mich über eine Klarstellung zu einem dieser Punkte freuen.

— Marc van Leeuwen
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Sie haben ein konzeptionelles Problem: die algorithmische Entscheidbarkeit (Halting Problem) und die Ableitbarkeit resp. Beweisbarkeit (Logik) sind zwei sehr unterschiedliche Konzepte; Sie scheinen "Entscheidbarkeit" für beide zu verwenden.

— Raphael

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@Raphael: Mir ist sehr wohl bewusst, dass es einen großen begrifflichen Unterschied zwischen den Aussagen des Unvollständigkeitssatzes und der Unentscheidbarkeit des Halteproblems gibt. Die negative Form der Unvollständigkeit: Ein hinreichend leistungsfähiges formales System kann nicht sowohl konsistent als auch vollständig sein, was sich in einer Unentscheidbarkeitserklärung niederschlägt - Theoreme, die ebenfalls halbentscheidbar sind (als Negationen von Theoremen, die Konsistenz voraussetzen, oder auch als leere Menge), daher entscheidbar.

— Marc van Leeuwen

Ja, in der Tat sind die beiden Beweise konzeptionell sehr ähnlich, und tatsächlich besteht eine Sichtweise darin, dass Gödel eine Art turing-complete-Logik in der Arithmetik konstruiert hat. Es gibt viele Bücher, die auf diese konzeptionelle Gleichwertigkeit hinweisen. zB Godel Escher Bach von Hofstadter oder Emperors New Mind von Penrose ....

— vzn

Etwas verwandt ... Ich erinnere mich immer an Hofstädters Parabel, in dem die Schildkröte immer wieder Achilles 'Plattenspieler bricht, als ob sie sich auf das Problem des Stillstands bezieht. Tatsächlich habe ich diesen Thread durch (erneutes) Durchsuchen meiner Verwirrung gefunden. Ich habe immer noch das Gefühl, dass sich das Gleichnis natürlicher und direkter auf das Problem des Stillstands überträgt, aber dies ist ohne ein tiefes Verständnis beider Theoreme.

— Micans

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Ich empfehle Ihnen, den Blog-Beitrag von Scott Aaronson auf einen Beweis des Unvollständigkeitssatzes über Turing-Maschinen und den Satz von Rosser zu überprüfen . Sein Beweis des Unvollständigkeitssatzes ist äußerst einfach und leicht zu befolgen.

— Marcos Villagra
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Vielen Dank für diesen Link, ich werde ihn vorerst akzeptieren, da er meinen Bedenken am nächsten kommt. Anfangs war ich allerdings recht gestört: ich falsch verstanden „vollständig“ bedeutet „jede Wahrheit ein ableitbar ist“ (eine Umkehrung zu klingen) statt „ wenn nicht ableitbar dann ist ist“ (eine Umkehrung zu konsistent). Scott Aaronson scheint zu glauben, dass die Bedeutung von "vollständig" für das Publikum offensichtlich ist, obwohl er kein logisches Publikum anzunehmen scheint (was ich sicherlich nicht bin); mit meinem missverständnis macht das, was er schreibt, keinen sinn. Nachdem ich meinen Fehler gefunden habe, finde ich den Beitrag sehr interessant.

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

— Marc van Leeuwen

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Einen ähnlichen Beweis gibt es in dem Buch The Nature of Computation ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) im Kapitel über Computability. Dort meiden die Autoren die Verwendung des Rosser-Theorems und gehen nur von der Existenz von Universalmaschinen aus (zB Church-Turing-These). Die genaue Referenz ist Abschnitt 7.2.5 Seite 238.

— Marcos Villagra

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Neel Krishnaswamis Antwort auf das Halting-Problem, unberechenbare Mengen: gemeinsamer mathematischer Beweis? on CSTheory verweist auf Referenzen, die die obigen Ergebnisse unter dem Dach der Kategorietheorie verbinden.

— Suresh
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Dieses Papier wird in der theoretischen Antwort nicht erwähnt (steht aber in den Kommentaren von Andrej Bauers Blog-Beitrag aus der Antwort), ist aber wahrscheinlich auch eine gute Übersicht.

— Artem Kaznatcheev

Dies ist ein Zusammenhang, der eher auf der Ähnlichkeit der Beweise als auf den Implikationen zwischen den Ergebnissen beruht, nicht wahr?

— Raphael

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Nun, die Ansicht in dem Artikel, auf die Artem verweist, ist, dass dies alles Manifestationen einer einzigen kategorietheoretischen Tatsache sind.

— Suresh

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(Dies soll ein Kommentar zu Sureshs Antwort sein, aber es ist einfach zu lang, um dort hinein zu passen. Ich entschuldige mich im Voraus, dass es Marcs Frage nicht wirklich beantwortet.)

Ich finde Neels Antwort Halteproblem, nicht berechenbare Mengen: gemeinsamer mathematischer Beweis? auf CSTheory und Andrej Bauers Blogpost aus zwei Gründen unbefriedigend.

Erstens benötigen wir normalerweise nicht den gesamten kategorietheoretischen Jargon, um den Zusammenhang zu erklären. Die Existenz einer unentscheidbaren Sprache wird durch den Satz von Cantor impliziert , der einen sehr elementaren diagonalen Beweis hat. Der Grund ist, dass die Menge der Programme gleich groß ist wie . Andererseits, da jede Sprache als eine Teilmenge von kann und somit die Menge aller Sprachen gleich . Mit dem Satz von Cantor, gibt es keine Surjektion von auf , und so wissen wir , es muss eine unentscheidbar Sprache existiert. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

Zweitens ist der obige Beweis unbefriedigend, da wir auch ein Beispiel für eine vernünftige, unentscheidbare Sprache "sehen" wollen. Der obige Beweis kann als ein Zählargument angesehen werden und ist daher in diesem Sinne nicht wirklich "konstruktiv". Als solches Beispiel hat Turing das Halteproblem entdeckt.

— Dai
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+1 Dies ist ein einfacherer Ansatz, aber ich bezweifle dies immer noch: "Und daher wissen wir, dass es eine unentscheidbare Sprache geben muss." Könnten Sie den Unterschied zwischen unentscheidbarer Sprache und unentscheidbarem Problem angeben?

— Hernan_eche

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@ Hernan_e Es gibt wirklich keinen "Unterschied". Ein Entscheidungsproblem in der Berechnungstheorie kann als eine beliebige Ja-Nein-Frage in der Menge der Eingaben . Somit können wir jedes Entscheidungsproblem der Menge von Eingaben zuordnen, für die die Antwort ja lautet. Die Menge ist die durch das Problem definierte Sprache .

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

— Dai

Verstanden, Sie sind sehr klar, ich stimme zu, dass das Zählargument nicht völlig zufriedenstellend ist, aber selbst ohne das Beispiel denke ich, dass der schlimmste Teil darin besteht, dass unendlich ist, dann gibt es keine große Überraschung, wenn man es sagt sind unentscheidbar Sprachen, wäre toll (besser gesagt zu verlängern zu begrenzen die Begründung für einen endlichen Fall (ich bin nicht für ein Beispiel eines unentscheidbar Problem zu fragen), aber ein ähnlicher Beweis (oder Widerlegung) gültig für eine endliche Menge) of input admited anstatt

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

— Hernan_eche

Aber ein diagonales Argument ist in der Tat ein konstruktiver Beweis. Neben Ihrer Reduktion auf Cantors Theorem ist die unentscheidbare Sprache die Menge aller Maschinen, deren Kodierung nicht in der akzeptierten Sprache vorliegt.

— Willard Zhan

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Universal Turing-Maschinen sind für einige diagonale Argumente nützlich, z. B. für die Trennung einiger Klassen in Hierarchien der zeitlichen oder räumlichen Komplexität: Die Universal-Maschine wird verwendet, um zu beweisen, dass in ein Entscheidungsproblem aber nicht in . (Bessere Grenzen finden Sie im WP-Artikel) $\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

Um ganz ehrlich zu sein, wenn Sie genau hinschauen, wird die Universalmaschine nicht im "negativen" Teil verwendet: Der Beweis geht davon aus, dass es eine Maschine , die eine zeitlich begrenzte Version des Halteproblems löst und dann mit dem Aufbau fortfährt . (Keine Universalmaschine hier) Die Universalmaschine wird verwendet, um die zeitlich begrenzte Version des Halteproblems in einem größeren Zeitraum zu lösen. $K$ $¬KK$

— jmad
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Für ausreichend nicht konstante f (n).

— Yonatan N

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"Wenn nicht wegen des Halteproblems, sind universelle Turingmaschinen in jeder diagonalen Argumentation nützlich?"

Der Satz von Rice ist im Wesentlichen die Verallgemeinerung der Diagonalisierung gegen Turing-Maschinen. Es zeigt, dass es zu Turing-Maschinen absolut keine Eigenschaft gibt, die Sie mit einem einzigen Algorithmus für alle Turing-Maschinen festlegen können, es sei denn, diese Eigenschaft gilt für alle Turing-Maschinen oder keine Turing-Maschinen. Beachten Sie, dass der Besitz der Eigenschaft für alle Turing-Maschinen oder keine Turing-Maschinen verhindert, dass das Diagonalisierungsobjekt eine Turing-Maschine ist. Daher kann es nicht in erster Linie auf der Liste stehen, um der Entscheidung über die Eigenschaft zu widersprechen. In der Tat ist dies die einzigeDinge, die verhindern, dass das Diagonalisierungsobjekt auf der Liste steht und der Entscheidung über die Eigenschaft widerspricht, die alle Eigenschaften von Turing-Maschinen sind, sind unentscheidbar. Dieses Muster des Diagonalisierungsobjekts, das ein Mitglied der Liste der Dinge sein muss, über die Sie eine Entscheidung treffen und die Sie dennoch negieren möchten, ist die kritische Abstraktion, die Lawvere in seinem Satz (auf den in der Antwort von Suresh verwiesen wird) erfasst um den Begriff der Diagonalisierung vollständig zu verallgemeinern. Nun, da wir aus Erfahrung wissen, dass fast jede Diagonalisierung die gemeinsame Eigenschaft zu haben scheint, zu einem äußerst wichtigen Ergebnis in der mathematischen Logik zu führen, ist Lawvere's Theorem durchaus das interessante Werkzeug.

— stoopkid
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