Schwerster planarer Teilgraph

Betrachten Sie das folgende Problem.

Gegeben: Ein vollständiges Diagramm mit echten nicht negativen Gewichten an den Kanten.

Aufgabe: Finden Sie einen planaren Teilgraphen mit maximalem Gewicht. ("Maximum" unter allen möglichen planaren Teilgraphen.)

Hinweis: Der Subgraph mit maximaler Gewichtung ist eine Triangulation. Wenn sich der vollständige Graph auf Eckpunkten befindet, hat er Kanten.$n$$m=3n-6$

Frage: Was ist der beste verfügbare Algorithmus für dieses Problem? Was ist seine zeitliche Komplexität?

Dies ist selbst für gewichtete vollständige Diagramme NP-hart. Für einen einfachen Algorithmus können Sie einen Spanning Tree mit maximaler Gewichtung berechnen: Negieren Sie die Kantengewichte und führen Sie den Kruskal-Algorithmus aus. Dies ergibt ein Leistungsverhältnis von 1/3 (ein Spanning Tree hat Kanten, und wie Sie bemerken, kann ein maximaler planarer Teilgraph höchstens Kanten enthalten). Soweit ich weiß, wurde der Algorithmus in [1], der ein Leistungsverhältnis von mindestens 25/72 und höchstens 5/12 aufweist, nicht wesentlich verbessert (siehe jedoch, welche neueren Veröffentlichungen darauf verweisen).$n-1$$3n-6$

Für vollständige Graphen, deren Kantengewichte der Dreiecksungleichung entsprechen, beträgt das Leistungsverhältnis des Algorithmus in [1] mindestens 3/8. Ich denke, der Algorithmus ist ziemlich kompliziert und kann in allgemeinen Graphen in -Zeit ausgeführt werden. Es gibt einige einfachere Varianten, die die Autoren ebenfalls mit unterschiedlichen Leistungsverhältnissen und möglicherweise besseren Laufzeiten präsentieren.$O(m^{3/2}n \log^6 n)$

[1] Calinescu, G., Fernandes, CG, Karloff, H. & Zelikovsky, A. (2003). Ein neuer Approximationsalgorithmus zum Auffinden schwerer planarer Teilgraphen. Algorithmica, 36 (2), 179 & ndash; 205.