Härte einer beschränkten quadratischen Maximierung

Betrachten Sie die folgende quadratische Maximierung: mit wobei eine positive semidefinite Matrix und ein Sparsity-Parameter ist. Dieses Problem ist NP-schwer, durch eine Reduzierung des Max-Clique-Problems.

\begin{aligned} max_{x \in X} & x^{T} A x \end{aligned}

$\begin{align} \max_{\mathbf{x} \in \mathcal{X}} &\quad\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x} \end{align}$

\begin{aligned} X = {x \in R^{n} : ‖ x ‖_{2} = 1, ‖ x ‖_{0} \leq k}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{X} = \lbrace \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} :~ \|\mathbf{x}\|_{2}=1, \|\mathbf{x}\|_{0}\le k \rbrace, \end{align}$

A

$\mathbf{A}$

k \leq n

$k \le n$

Ich interessiere mich für ein ähnliches Problem, das durch Auferlegen einer zusätzlichen Struktur für $\mathcal{X}$ . Angenommen, die $n$ Variablen in $\mathbf{x}$ sind in $k$ disjunkte Gruppen unterteilt. Wir beschränken die mögliche Menge auf Einheitslängenvektoren $\mathbf{x}$ mit einer aktiven Variablen pro Gruppe. Das heißt, $\mathcal{X}$ enthält wieder $k$ sparsame Vektoren, aber die Unterstützung kann nicht beliebig sein; Es enthält (höchstens) einen Eintrag ungleich Null für jede der $k$ Gruppen.

Beachten Sie, dass die realisierbare Menge in dem modifizierten Problem eine Teilmenge der vorherigen Maximierung ist, aber die Anzahl der realisierbaren Unterstützungen in der Anzahl der Variablen $n$ (für entsprechend gewähltes $k$ ) immer noch exponentiell sein kann .

Ich vermute, dass das modifizierte Problem auch NP-schwer ist. Irgendwelche Ideen, wie man das zeigt (oder widerlegt)? Fühlen Sie sich frei, Ihre Intuition zu teilen.

complexity-theory optimization np-hard

— Megas
quelle

Ohne die Anforderung der Halbwertszeit sollte dies durch Reduktion von der unabhängigen Menge NP-hart sein. Angenommen, ist ein Graph mit Eckpunkten. Erstellen Sie eine Instanz des Problems mit Variablen und - Gruppen, eine Gruppe pro Vertex von . Das Setzen der ersten Variablen in der Gruppe von auf 1 entspricht dem Hinzufügen von zur unabhängigen Menge. Das Setzen der 2. Variablen ist so, als würde man der Menge kein hinzufügen . Jetzt können Sie eine Matrix , die die Anzahl der Kanten so minimiert dass beide in der Menge sind. Aber wird das

G

$G$

N

$N$

2 N

$2N$

N

$N$

v

$v$

G

$G$

v

$v$

v

$v$

v

$v$

A

$A$

(v, w) \in E

$(v,w) \in E$

v, w

$v,w$

A

$A$ semidefinit sein? Ich weiß es nicht.

— DW

@DW, könnten Sie einfach den Laplace-Wert der Adjazenzmatrix verwenden? ist immer positiv semidefinit.

L

$L$

— Nicholas Mancuso

@NicholasMancuso, ich weiß es nicht! Interessante Idee.

— DW

Wenn das einzige Problem darin besteht, dass das Argument nicht positiv semidefinit (PSD) ist ( ist nur symmetrisch), sollte es in Ordnung sein: Wir können die Maximierung immer auf lösen . Ich werde einen Blick auf den vorgeschlagenen Ansatz werfen und Sie wissen lassen!

A

$\mathbf{A}$

A

$\mathbf{A}$

A + | λ_{m i n} (A) | \cdot I

$\mathbf{A}+|\lambda_{min}(\mathbf{A})| \cdot \mathbf{I}$

— Megas

Ich habe einige Probleme damit, diesen Ansatz an mein Problem anzupassen. Für mich ist nicht binär; Es ist ein realer Einheitsnormvektor, der auch negative Einträge haben darf, was einige Schwierigkeiten beim Entwerfen von . Es sei denn, ich vermisse etwas Offensichtliches? Aber mir hat die Idee der Variablen gefallen . Ich werde weiter darüber nachdenken, ob ich etwas herausfinden kann, das darauf aufbaut.

x

$\mathbf{x}$

A

$\mathbf{A}$

2 N

$2N$

— Mega

(Ich habe die Antwort auf meine Frage gefunden, daher teile ich hier eine Skizze) .

Die quadratische Maximierung kann durch Reduktion des folgenden Problems als NP-hart gezeigt werden:

Wenn der Partitendiagramm , enthält eine Klasse. $k$ $G=(V_{1}, \dots, V_{k}, E)$ $G$ $k$

Beachten Sie, dass das letztere Problem ein (scheinbar) spezieller Fall des Max-Clique-Problems ist, der auf eine bestimmte Familie von Graphen beschränkt ist. Es kann jedoch gezeigt werden, dass es auch NP-vollständig ist, indem das allgemeine Max-Clique-Problem selbst reduziert wird (siehe hier) .

Let die Adjazenzmatrix bezeichnen . Sei eine beliebige Menge von Eckpunkten und bezeichnet die Haupt-Submatrix, die , dh ist die Adjazenz des durch induzierten Graphen . Wenn die Eckpunkte in eine Klasse in , sind alle nicht diagonalen Einträge von gleich und sein Haupteigenwert . In jedem anderen Fall, wenn $\mathbf{A}$ $G$ $S$ $k$ $\mathbf{A}_{S}$ $S$ $\mathbf{A}_{S}$ $k\times k$ $S$ $S$ $k$ $G$ $\mathbf{A}_{S}$ $1$ $\lambda_{1}(\mathbf{A}_{S}) = k-1$ $S$ ist keine Klasse, dann ist . Schließlich ist zu beachten , dass , da ist -partiten, a -clique (falls vorhanden) einen einzelnen Scheitelpunkt von jedem der Sätze enthalten , . $k$ $\lambda_{1}(\mathbf{A}_{S}) < k-1$ $G$ $k$ $k$ $V_{i}$ $i=1,\dots,k$

Sei , wobei ist der kleinste Eigenwert von ; ist eine PSD-Matrix. Betrachten Sie ferner disjunkte Gruppen von Variablen, die den Mengen von . Wir lösen die quadratische Maximierung mit der Eingabe und den angegebenen Variablengruppen. Der maximale Zielwert ist gleichgenau dann, wenn eine Clique enthält . $\mathbf{A}^{\prime} = \mathbf{A} + |\lambda_{n}(\mathbf{A})|\cdot\mathbf{I}$ $\lambda_{n}(\mathbf{A})$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{\prime}$ $k$ $V_{1}, \dots, V_{k}$ $G$ $\mathbf{A}^{\prime}$ $k-1 + |\lambda_{n}(\mathbf{A})|$ $G$ $k$

— Megas
quelle