Ist es entscheidend, ob ein TM eine Position auf dem Band erreicht?

Ich habe diese Fragen aus einer alten Prüfung, die ich zu lösen versuche. Für jedes Problem ist die Eingabe eine Codierung einiger Turing Maschine $M$ .

Für eine ganze Zahl $c>1$ und die folgenden drei Probleme:

1. Stimmt es, dass M für jede Eingabe $x$ die nicht übergibt ? x | + $|x|+c$ Position beim Laufen auf $x$ ?

2. $x$$\max \{|x|-c,1 \}$$x$

3. Stimmt es, dass M für jede Eingabe nicht die Position überschreitet, wenn es auf läuft ?$x$$(|x|+1)/c$$x$

Wie viele Probleme sind entscheidbar?

Problem Nummer (1) befindet sich meiner Meinung nach in wenn ich das richtig verstehe, kann ich alle Eingaben parallel ausführen und stoppen, wenn einige Eingaben diese Position erreicht haben, und um zu zeigen, dass dies nicht der in kann ich das Komplement von Atm darauf reduzieren . Ich konstruiere eine Turing-Maschine wie folgt: für eine Eingabe überprüfe ich, ob eine Berechnungshistorie ist, wenn ja, dann läuft richtig und hört nicht auf, wenn nicht, dann hört es auf.$\text {coRE} \smallsetminus \text R$$\text R$$M'$$y$$y$$M'$

Für (3) glaube ich, dass es entscheidend ist, da für alle Turing-Maschinen immer in der ersten Zelle des Streifens bleiben, da sie für eine Zeichenfolge die erste Zelle passieren können, also ich müssen alle Zeichenfolgen der Länge 1 für Schritte simulieren (Ist das richtig?) und prüfen, ob ich nur die erste Zelle in allen Schritten verwende.$c \geqslant 2$$|Q|+1$

Ich weiß nicht wirklich, was ich damit anfangen soll (2).

Jede Situation, in der gefragt wird, ob eine Turing-Maschine auf einen endlichen Abschnitt des Bandes (z. B. mit der Länge ) bei einer bestimmten Eingabe beschränkt ist, ist entscheidbar.$n$

Das Argument funktioniert wie folgt. Betrachten Sie die Turingmaschine, das Band und die Position der Turingmaschine auf dem Band. Insgesamt haben diese eine endliche Anzahl von Konfigurationen. Konkret gibt es nur mögliche Konfigurationen. Γ ist die Menge der Bandsymbole und Q ist die Menge der Zustände. Ich werde das Wort "Konfiguration" weiterhin verwenden, um den Zustand der Turing-Maschine in Kombination mit dem Zustand des Bandes und seiner Position auf dem Band für den Rest dieser Antwort zu beschreiben, aber das ist kein Standardvokabular.$t = n|\Gamma|^n|Q|$$\Gamma$$Q$

Führen Sie die Maschine aus und behalten Sie alle früheren Konfigurationen im Auge. Wenn es jemals über Punkt hinausgeht , geben Sie "Ja, M passiert Position n " zurück. Ansonsten liegt die Maschine irgendwo zwischen 0 und . Wenn die Maschine jemals eine Konfiguration wiederholt - ihr Status, die Symbole auf dem Band und ihre Position auf dem Band stimmen mit den vorherigen überein - geben Sie "nein, M passiert Position n nie " zurück.$n$$M$$n$$n$$M$$n$

Nach dem Pidgeonhole-Prinzip muss dies in nicht mehr als Schritten geschehen . Alles oben Genannte ist also entscheidend. nach maximal t + 1 simulierten schritten erhalten sie eine antwort.$t+1$$t+1$

Ein kurzer Hinweis zur Funktionsweise: Wenn sich die Maschine, das Band und seine Position auf dem Band wiederholen, muss zwischen diesen Wiederholungen eine Folge von Konfigurationen liegen. Diese Sequenz wird erneut ausgeführt und führt ein weiteres Mal zu derselben Konfiguration - die Maschine befindet sich in einer Endlosschleife. Das liegt daran, dass wir jeden Aspekt der Turing-Maschine im Auge behalten. Nichts außerhalb der Konfiguration kann sich auf das Geschehen auswirken. Wenn sich eine Konfiguration wiederholt, wird sie erneut wiederholt, mit einer identischen Reihe von Konfigurationen dazwischen.

Es ist also entscheidend, das Band auf einen endlichen Teil der Zeichenfolge zu beschränken. Wenn alle möglichen Eingabezeichenfolgen , liegt das Problem daher für alle drei Fragen in KOR . Sie haben dies vielleicht bereits erkannt (zwischen Ihren Ideen für 1 und 3 und Ran Gs Antwort für 2 scheint es sowieso vollständig gelöst zu sein), aber ich dachte, es könnte sich dennoch lohnen, etwas zu posten.$\text{coRE}$

(2) ist (3) sehr ähnlich, und die gleiche Überlegung, die Sie für (3) hatten, gilt auch hier: Beachten Sie, dass Maschinen in eine seltsame Eigenschaft haben - sie lesen nicht die gesamte Eingabe (sie erreichen sie nie) letzte c Bits.) Und das gilt für jede Eingabe.$L_2$$c$

Ok, nun betrachten wir nur Eingaben bis zur Länge . Für jede von ihnen gibt es nur zwei Optionen: Die Maschine hält an, ohne den Kopf zu bewegen, oder sie bewegt den Kopf. Wenn es den Kopf um ein x bewegt (mit | x | ≤ c ), befindet sich diese Maschine aufgrund dieser Eingabe x nicht in L 2 . Ansonsten behaupte ich, die Maschine sei in L 2 . Da es niemals den Kopf bewegt, hat es keine Ahnung, wie groß die Eingabe ist! Dies bedeutet, dass es sich für alle Eingaben der Länge | gleich verhält x | > c . Daher L 2 entscheidbar ist.$c$$x$$|x|\le c$$L_2$$x$$L_2$$|x|>c$$L_2$