Lösen der Wiederholungsbeziehung

Lösen der Wiederholungsrelation . Das Buch, aus dem dieses Beispiel stammt, behauptet fälschlicherweise, dass indem es errät und dann argumentiert $T(n) = 2T(\lfloor n/2 \rfloor) + n$
$T(n) = O(n)$$T(n) \leq cn$

$\qquad \begin{align*} T(n) & \leq 2(c \lfloor n/2 \rfloor ) + n \\ &\leq cn +n \\ &=O(n) \quad \quad \quad \longleftarrow \text{ wrong!!} \end{align*}$

da konstant ist. Der Fehler ist, dass wir die genaue Form der induktiven Hypothese nicht bewiesen haben .$c$

Oben habe ich genau zitiert, was das Buch sagt. Meine Frage ist nun, warum wir nicht schreiben können, wobei und wir jetzt und damit .$cn+n=dn$$d=c+1$$T(n) \leq dn$$T(n) = O(n)$

Hinweis:

1. Die richtige Antwort lautet$T(n) =O(n \log n).$
2. Das Buch, auf das ich mich hier beziehe, ist Einführung in Algorithmen von Cormen et al., Seite 86, 3. Auflage.

Die Autoren geben die Antwort:

Der Fehler ist, dass wir die genaue Form der induktiven Hypothese nicht bewiesen haben , das heißt$T(n) \leq cn$.

Zugegeben, das ist schwer zu verstehen, wenn Sie nicht an Induktionen gewöhnt sind (rechts), weil sie die Induktion nicht explizit / rigoros machen. Kurz gesagt: Sie müssen eine Konstante haben$c$ für alle $n$, aber dieser (un) Beweis konstruiert viele (eine pro $n$).

Erinnern Sie sich lange an was $T(n) \in O(n)$ meint:

$\qquad \displaystyle \exists c \in \mathbb{N}.\, \exists n_0 \in \mathbb{N}.\, \forall n \geq n_0.\, T(n) \leq cn$

oder äquivalent,

$\qquad \displaystyle \exists c \in \mathbb{N}.\, \forall n \in \mathbb{N} T(n) \leq cn$.

Die zweite Form funktioniert besser für eine Induktion, da Sie den Anker kennen. Sie brauchen also eine Konstante$c$das bietet eine Obergrenze für alle $n$.

Lassen Sie uns untersuchen, was die Induktion bewirkt:

• Induktionsanker: Der Anker von $T$ ist nicht explizit angegeben, aber es ist konstant, so dass wir eine geeignete finden $c$.
• Induktionshypothese: Es gibt einige $c$ damit $T(k) \leq cn$ für alle $k\leq n$, für einige willkürlich aber fest $n$.
• Induktiver Schritt: Wie in der Frage gezeigt, konstruieren $d > c$ damit $T(n+1) \leq dn$.

Tatsächlich konstruieren wir also für jeden eine neue Konstante$n$. Das passt nicht zur Definition von$O$überhaupt! Und schlimmer noch, es ist völlig bedeutungslos: Jede Funktion kann durch jede andere Funktion "begrenzt" werden, wenn Sie den Faktor mit einstellen können$n$.

In Bezug auf den Induktionsnachweis, $c$ muss Teil des Anspruchs sein (und es ist in der versteckt $O$), das ist "außerhalb" der Induktion gebunden. Dann das gleiche$c$zeigt sich in Anker, Hypothese und Schritt. Ein Beispiel finden Sie im letzten Teil dieser Antwort .