Komplexität der Berechnung

Was ist die Komplexität der Berechnung ? $n^{n^2},\;n \in \mathbb{N}$

complexity-theory integers number-theory

— Raphael
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Was hast du versucht? Welches Maschinen- und Kostenmodell nehmen Sie an?

— Raphael

Mit der schnellen Fourier-Transformation können Multiplikationen mit Bit-Zahlen in der Zeit (wobei die Tilde anzeigt, dass wir polylogarithmische Faktoren ignorieren). Durch wiederholtes Quadrieren können wir mit -Multiplikationen berechnen , und jede Multiplikation beinhaltet keine Zahl größer als , die ungefähr Bits hat. Die Gesamtzeit beträgt also $k$ $\tilde{O}(k)$ $n^{n^2}$ $O(\log n)$ $n^{n^2}$ $n^2 \log_2 n$ . $\tilde{O}(n^2(\log n)^2)=\tilde{O}(n^2)$

— Micah
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Als Antwort auf Kommentare bearbeitet Die Zeit zum Berechnen von kann in die Zeit zerlegt werden, die zum Berechnen von erforderlich ist, und die Zeit, die zum Ausführen von erforderlich ist . Ich gehe davon aus, dass das Multiplizieren einer Bit-Zahl mit einer Bit-Zahl nach der Schulbuchmethode genau Zeit benötigt. Ergänzungen usw. sind konstante Zeit. Als Ergebnis der Berechnung nimmt $f(n) = n^{n^2}$ $f_1(n) = n^2$ $n ^ {f_1(n)}$ $m$ $n$ $mn$ $n^2$ Zeit. $\log_2^2 (n)$

Angenommen, wir verwenden die binäre Exponentiation zur Berechnung von . Die binäre Exponentiation führt bei der Berechnung von zwei Arten von Operationen aus : Quadrieren des aktuellen Produkts und Multiplizieren des aktuellen Produkts mit , je nachdem, ob das aktuelle Bit in der binären Erweiterung von 0 oder 1 ist. Im schlimmsten Fall ist eine Zweierpotenz ist , so daß binäre Potenzierung wiederholt Quadrate seine aktuelle Produkt , bis er die answer.Note erreicht , dass ist $f(n)$ $f(n)$ $n$ $n^2$ $n^2$ $n^2$ Bits, so dass die Anzahl solcher Quadrate . Dies ist der Fall, den wir weiter unten analysieren. $m'=\lceil 2 \log_2(n) \rceil$ $m= m'-1$

Das erste Quadrieren dauert , was zu einem -Bit-Produkt führt. Das zweite Quadrieren nimmt zwei -Bit-Zahlen auf und läuft in mal, was zu einem Bit-Produkt führt. Wenn Sie fortfahren, dauert der te Schritt $t_1=\log_2^2(n)$ $o_1=2 \log_2(n)$ $o_1$ $t_2=o_1^2$ $o_2=2o_1$ $i$ Zeit und gibt ein-Bit-Produkt aus. Dieser Vorgang stoppt beimten Schritt; Infolgedessen braucht es Zeit $t_i = 4^{i-1}\log^2_2 n$ $o_i=2^{i} \log_2 (n)$ $m$

. $T _{exp} =\sum _{[1..m]} t_i = \log_2 ^2 (n) \sum_{[1..m]} 4^i = \frac{4^m -1} {3} \log_2 ^2 n$

Wenn die anfänglichen Quadrierungskosten enthalten sind, brauchen wir höchstens Zeit

${T_{exp} + \log_2^2{n}}$

Hinweis

Ich habe einige Böden und Decken in den Berechnungen weggelassen, in der Hoffnung, dass sie die Antwort nicht wesentlich beeinflussen würden.
$O$
$O$ $\sum t_i$ $O(\log n)$
Die Multiplikationen können immer durch FFT und andere Methoden beschleunigt werden.

— PKG
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O (1)

$\mathcal{O}(1)$

n^{2}

$n^{2}$

n

$n$

O (\log n)

$O(\log n)$

O (1)

$O(1)$

n^{2} \log_{2} n

$n^2\log_2 n$

n^{2} \log_{2} n

$n^2\log_2 n$

O (\log n)

$O(\log n)$

Fairer Punkt, ich werde zur Kenntnis nehmen

— PKG

@ ThomasAndrews: Das hängt von der Maschine und dem Kostenmodell ab. Es ist nicht ungewöhnlich, ein RAM-Modell mit konstanten Kosten für Ergänzungen anzunehmen.

— Raphael