Problem ohne Selbstreferenz stoppen

In dem Halteproblem sind wir interessiert, ob es eine Turingmaschine , die erkennen kann, ob eine gegebene Turingmaschine M an einem gegebenen Eingang i anhält oder nicht . Normalerweise beginnt der Beweis mit der Annahme, dass ein solches T existiert. Dann betrachten wir einen Fall, in dem wir i auf M selbst beschränken und dann einen Widerspruch ableiten, indem wir eine Instanz eines diagonalen Arguments verwenden. Ich bin interessiert, wie der Beweis verlaufen würde, wenn wir das Versprechen erhalten, dass ich ≠ M bin . Was ist mit dem Versprechen i ≠ M ' , wobei M ' funktional äquivalent zu M ist ?$T$$M$$i$$T$$i$$M$$i \not = M$$i \not = M^\prime$$M^\prime$$M$

Angenommen, HALTS ist ein TM, das seine Eingabe als Paar und x liest , wobei M eine TM-Codierung ist und x eine beliebige Eingabe für dieses TM ist.$M$$x$$M$$x$

Ihre Frage ist ob das, was passieren würde , wenn wir davon ausgegangen , hält das Halteproblem für alle Eingänge gelöst , so dass x nicht eine Codierung eines TM ist , die funktional äquivalent zu ist M .$\langle M,x \rangle$$x$$M$

Ich behaupte, dies impliziert einen Widerspruch. Ich habe mir das sofort ausgedacht, daher begrüße ich jede Kritik an meinem Beweis. Die Idee des Beweises ist, dass wir, anstatt etwas an sich zu diagonalisieren, zwei sich gegenseitig rekursive TMs erstellen, die sich bei einigen Eingaben unterschiedlich verhalten (daher nicht funktional äquivalent sind), aber ansonsten Widersprüche verursachen.

Sei und D 2 zwei gegenseitig rekursive TMs (dh wir können die Beschreibung von D 2 innerhalb des Programms von D 1 simulieren, drucken usw. und umgekehrt). Beachten Sie, dass wir aus dem Rekursionssatz gegenseitig rekursive TMs erstellen können.$D_1$$D_2$$D_2$$D_1$

Definieren Sie und D 2 wie folgt: am Eingang x , wenn | x | < 10 (10 willkürlich gewählt), dann akzeptiert D 1 und D 2 Schleifen. (Somit sind sie funktional nicht äquivalent).$D_1$$D_2$$x$$|x| < 10$$D_1$$D_2$

Gegebene Eingabe mit | x | ≥ 10 definieren D 1 HALT auf simulieren ⟨ D 2 , x ⟩ und halt , wenn D 2 stoppt oder Schleife , wenn D 2 Schleife.$x$$|x| \ge 10$$D_1$$\langle D_2, x \rangle$$D_2$$D_2$

Gegebene Eingabe mit | x | ≥ 10 definieren D 2 HALT auf simulieren ⟨ D 1 , x ⟩ und Schleife , wenn D 1 stoppt oder halt , wenn D 1 - Schleifen.$x$$|x| \ge 10$$D_2$$\langle D_1, x \rangle$$D_1$$D_1$

Beachten Sie dann, dass für jedes mit | x | ≥ 10 , D 1 (x) hält entweder an oder schleift. Wenn D 1 am Eingang x anhält, wissen wir, dass HALTS ( D 2 , x) bestimmt hat, dass D 2 am Eingang x anhält. Das Anhalten von D 2 am Eingang x impliziert jedoch, dass HALTS ( D 1 , x) Schleifen sind.$x$$|x| \ge 10$$D_1$$D_1$$D_2$$D_2$$D_2$$D_1$

Wenn am Eingang x Schleifen hat, folgt der Widerspruch ähnlich.$D_1$$x$

Dies ist ein Widerspruch, es sei denn, ist eine Codierung für eine Turingmaschine, die funktionell D 1 oder D 2 entspricht . In diesem Fall weist HALTS ein undefiniertes Verhalten auf. Allerdings x wurde willkürlich aus allen Saiten einer Größe von mehr als gewählt 10 . Es bleibt also zu zeigen, dass es eine Turingmaschine mit einer Codierung von mehr als 10 gibt, die sich anders verhält als D 1 und D 2 . Wir können eine solche Maschine trivial konstruieren. QED.$x$$D_1$$D_2$$x$$10$$D_1$$D_2$

Gedanken?

Du bist immer noch nicht aus dem Wald. Sie führen in das gleiche Problem, nur jetzt Sie geben einen anderen TM, als Eingabe, in dem Sie sich entschieden haben M ' funktional äquivalent zu sein , M (sagen Sie eine neue Regel hinzuzufügen , M , so dass M ' s Öffnung bewegt sind einen Schritt nach rechts, einen Schritt nach links und ansonsten nehmen Sie keine Änderungen vor). Sie werden immer noch auf einen Widerspruch stoßen. Sie könnten versuchen, alle TMs zu entfernen, die M entsprechen , aber das ist eine unentscheidbare Menge.$M'$$M'$$M$$M$$M'$$M$

Update . Korrigieren Sie ein Codierungsschema, bei dem Bezeichnet die Beschreibung unter diesem Schema eines TM M und nimmt an, Sie hatten ein TM, H wo$\langle\,M\,\rangle$$M$$H$

• $H(\langle\,M\,\rangle, x)$$x$$H$$x$$H$
• $H(\langle\,M\,\rangle, x)$$M(x)$

$Q$

Q(x)=
  if H(<Q>, x) = false
    return true
  else
    loop forever

$Q$$H$$x=\langle\,Q\,\rangle$$Q(\langle\,Q\,\rangle)$$H$