Sind NP Complete-Sprachen im regulären Betrieb geschlossen?

Ich habe versucht, online zu suchen, konnte aber keine endgültigen Aussagen finden. Es würde für mich Sinn machen, dass die Vereinigung und Kreuzung zweier NPC-Sprachen eine Sprache hervorbringen würde, die nicht unbedingt im NPC enthalten ist. Stimmt es auch, dass NPC-Sprachen nicht unter den Operationen Komplement, Verkettung und Kleene-Sterne geschlossen werden?

complexity-theory np-complete closure-properties

— user16742
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Nur eine Anmerkung: Regelmäßige Operationen sind Vereinigung, Verkettung und Kleene-Stern und nicht Kreuzung und Ergänzung

— A.Schulz

Warum nicht Schnittmenge und Ergänzung? Ich habe nirgendwo eine formale Definition des regulären Betriebs gesehen.

— Tushar

@Tushar In der Tat: Vereinigung, Verkettung und Kleene-Stern sind reguläre Operationen, während Vereinigung, Schnittmenge und Komplement boolesche Operationen sind. Siehe Wikipedia .

— Hendrik

@Tushar: Weil diese Operationen zum Erstellen regulärer Ausdrücke verwendet werden.

— A.Schulz

Antworten:

Für alle Beispiele in dieser Antwort nehme ich das Alphabet als . Beachten Sie, dass die Sprachen und definitiv nicht NP- vollständig sind. $\{0,1\}$ $\emptyset$ $\{0,1\}^*$

Die Klasse der NP- vollständigen Sprachen wird unter Schnittmenge nicht geschlossen. Für jede NP- vollständige Sprache sei und . und sind beide NP- vollständig, aber . $L$ $L_0 = \{0w\mid w\in L\}$ $L_1 = \{1w\mid w\in L\}$ $L_0$ $L_1$ $L_0\cap L_1 = \emptyset$
Die Klasse der NP- vollständigen Sprachen ist unter Union nicht geschlossen. Bei den NP- vollständigen Sprachen und aus dem vorherigen Teil sei und $L_0$ $L_1$ $L'_0 = L_0 \cup \{1w\mid w\in \{0,1\}^*\}\cup\{\varepsilon\}$ . und sind beideNP-vollständig, aber $L'_1 = L_1\cup \{0w\mid w\in \{0,1\}^*\}\cup\{\varepsilon\}$ $L'_0$ $L'_1$ $L'_0\cup L'_1 = \{0,1\}^*\!$ .
Die Klasse der NP- vollständigen Sprachen wird bei Verkettung nicht geschlossen. Betrachten Sie die NP- vollständigen Sprachen und aus dem vorherigen Teil. Da beide Sprachen enthalten , haben wir $L'_0$ $L'_1$ $\varepsilon$ $L'_0L'_1 \supseteq L'_0\cup L'_1 = \{0,1\}^*\!$ .
Die Klasse der NP- vollständigen Sprachen ist unter Kleene-Stern nicht geschlossen. Für jede NP -komplette Sprache , ist NP -komplette aber $L$ $L\cup \{0,1\}$ $\big(L\cup \{0,1\}\big)^* = \{0,1\}^*\!$ .
Wenn die Klasse der NP- vollständigen Probleme unter Komplementation geschlossen wird, ist NP = coNP . Ob dies wahr ist oder nicht, ist eines der wichtigsten offenen Probleme in der Komplexitätstheorie.

— David Richerby
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Sind NP-vollständige Sprachen mit Ausnahme der Ergänzung nicht unter all diesen geschlossen? Oder ist das für P?

— Adjit

@ Adjit Um. Ich habe bewiesen, dass NP unter keinem von ihnen geschlossen ist.

— David Richerby

Für Ihre spezifische Sprache. Aber ich denke, ich sehe nicht, wie {0, 1}*nicht NP-vollständig ist. Wenn Sie zum Beispiel die Schnittmenge von 2 NP-vollständigen Sprachen nehmen, sollten Sie dann keine NP-vollständige Sprache erhalten, wodurch NP unter der Kreuzung geschlossen wird?

— Adjit

{0, 1} * und die leere Sprache sind regulär, daher in Polynomzeit entscheidbar und nicht NP-vollständig. @DavidRicherby hat gezeigt, dass es zwei NP-Complete-Sprachen gibt, deren Schnittpunkt nicht NP-Complete ist. Dies reicht aus, um zu beweisen, dass der NPC unter der Kreuzung nicht geschlossen ist .

— Weirdev

@weirdev Nein!

und

sind nicht NP - vollständig , da keine anderen Sprachen , um sie zu reduzieren. Es reicht nicht aus zu sagen, dass sie in P sind - wir wissen nicht, dass Sprachen in P nicht NP- vollständig sein können.

\emptyset

$\emptyset$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

— David Richerby

-2

Schauen Sie sich hier die Beweise für Vereinigung, Schnittmenge, Verkettung und Kleene-Stern der NP-Sprachen an . Es scheint, als könnte ein ähnliches Argument für NP-vollständige Sprachen vorgebracht werden.

Zur Notation lassen

Orakel, das über ein bekanntes NP-Complete-Problem wie 3-SAT entscheidet. Siehe die Definition von $A$ Turing reduzierbar
und $L_1$ $L_2$ sind NP-vollständige Sprachen
und sind Turingmaschinen, die und mit $M_1$ $M_2$ $L_1$ $L_2$ $A$ .
ist $L_3$ $L_1 \cup L_2$
ist eine Turingmaschine, die über entscheidet $M_3$ $L_3$

Im Fall der Vereinigung von 1 können wir eine neue Maschine erstellen , die entscheidet, indem wir und als Unterroutinen aufrufen . Jedes Mal, wenn oder aufgerufen wird, wird wiederum auch aufgerufen. So entscheidet mit . Nach dem Argument von 1 ist die Laufzeit von in P und da als Unterprogramm verwendet wird, ist NP-vollständig. Mit anderen Worten, $M_3$ $L_3$ $M_1$ $M_2$ $M_1$ $M_2$ $A$ $M_3$ $L_3$ $A$ $M_3$ $A$ $L_3$ ist NP-vollständig aus dem gleichen Grund, aus dem und NP-vollständig sind. $L_3$ $L_1$ $L_2$

Das gleiche Argument kann als Schnittpunkt verwendet werden, und es sieht so aus, als könnten ähnliche Argumente für die Verkettung und den Kleene-Stern vorgebracht werden.

Im Falle eines Komplimentes scheint es wahrscheinlich schwierig zu sein, aus den gleichen Gründen zu beweisen, dass es schwierig ist , ein Kompliment in NP zu beweisen.

— Otto Normalverbraucher
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Die NP-Vollständigkeit wird als Mehrfachreduktion definiert, nicht als Orakelreduktion. Darüber hinaus sind die NP-vollständigen Sprachen definitiv nicht unter Vereinigung oder Schnittmenge geschlossen. Wenn sie unter Komplement geschlossen sind, ist NP = coNP, was eine wichtige offene Frage ist.

— David Richerby

In Stephen Cooks 1971 veröffentlichtem Artikel [1], der die NP-Vollständigkeit definiert, verwendet er eine Abfragemaschine, die dem gleichen Konzept wie ein Oracle entspricht. Sie sollten auch den obigen Link zur Reduzierbarkeit überprüfen. [1] chell.co.uk/media/product/_master/1/files/…

— Joebloggs

@joebloggs: Ich kann aus Ihrem Argument ersehen, dass die Vereinigung und Schnittmenge zweier NP-vollständiger Sprachen NP ist. Es beweist jedoch immer noch nicht, ob es NP-vollständig ist. Sie müssen die Vereinigung oder den Schnittpunkt zweier NP-vollständiger Entscheidungsprobleme auf ein NP-vollständige Entscheidungsproblem reduzieren, um dies zu zeigen.

— Tushar

@ DavidRicherby: Sie sagen, dass die NP-vollständigen Sprachen definitiv nicht unter Vereinigung oder Kreuzung geschlossen sind. Ich bin daran interessiert, den Beweis dafür zu prüfen. Haben Sie Referenzen für diesen Beweis?

— Tushar

@joebloggs: Dein Argument funktioniert für NP-Sprachen, aber NICHT für NP-vollständige Sprachen. Um zu beweisen, dass eine Sprache L Np-vollständig ist, müssen Sie eine Polynomreduktion von L auf eine bekannte NP-vollständige Sprache bereitstellen. Was Davids Antwort betrifft, so ist P unter Schnittpunkten geschlossen, weil sowohl die leere Sprache als auch die universelle Sprache in P sind (daher sind sie auch in NP), aber sie sind nicht NP-vollständig. Hoffe das macht es klar!

— Tushar