Kann genau einer von NP und Co-NP gleich P sein?

Vielleicht fehlt mir etwas Offensichtliches, aber kann es sein, dass P = co-NP NP oder umgekehrt? Mein Gefühl ist, dass es einen Satz geben muss, der diese Möglichkeit ausschließt.$\subsetneq$

Nein, weil $\mathsf{P}$ geschlossen ist, um dies nicht zu ergänzen, und wir sogar wissen, dass $\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies \mathsf{NP}=\mathsf{co\text{-}NP}$ .

Nehmen wir an, dass $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ und $L \in \mathsf{co\text{-}NP}$ , also $L^c \in \mathsf{NP}$ . Wir haben $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ , und daher existiert ein TM $M$ st $L(M)=L^c$ . Wenn wir das "Komplement" von $M$ , das heißt eine Maschine $M'$ die mit M identisch ist, $M$außer dass ihre Annahme- und Ablehnungszustände umgekehrt sind, erhalten wir $L(M')=(L^c)^c=L$ und also ist $L$ in $\mathsf{NP}$ .

Dies zeigt , dass, unter der Annahme , dass , erhalten wir und somit .$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$(\mathsf{P}=)\mathsf{NP}=\mathsf{co\text{-}NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}NP}$

$\mathsf{P}$ wird unter Komplement geschlossen (dh ¹); Wenn also (oder ), dann ist$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}P}$$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{co\text{-}NP} = \mathsf{NP}$

1. Wenn eine Sprache , können wir ein deterministisches TM 'konstruieren, das in Polynomzeit wir einfach das TM nehmen, das und ...$L \in \mathsf{P}$$\overline L$$L$