Laufzeitgrenzen für NP-Algorithmen schließen Probleme unter der Annahme von P ≠ NP ab

Es sei angenommen , . $P\neq NP$

Was können wir über die Laufzeitgrenzen aller NP-vollständigen Probleme sagen?

dh was sind die engsten Funktionen für die wir garantieren können, dass ein optimaler Algorithmus für jedes NP-vollständige Problem in einer Zeit von mindestens und höchstens läuft bei einer Eingabe der Länge ? $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $\omega(L(n))$ $o(U(n))$ $n$

Offensichtlich ist . Auch $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ . $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$

Ohne die Annahme von , oder einer anderen Annahme, die nicht durch impliziert wird , können wir keine besseren Grenzen angeben $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ angeben? $L,U$

BEARBEITEN:

Man beachte, dass mindestens eines von weit von den Grenzen entfernt sein muss, die ich hier angegeben habe, da es sich bei diesen Problemen um NPC-Probleme handelt, die Poly-Zeit-Reduktion untereinander besteht, was bedeutet, dass, wenn ein NPC-Problem einen optimalen Algorithmus für die Zeit , dann haben alle Probleme einen Algorithmus (optimal oder nicht) der Laufzeit $L,U$ $f(n)$ . $O(f(n^{O(1)}))$

— RB
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Wenn P

NP, können wir sagen, dass die Laufzeitgrenzen größer sind als jedes Polynom Funktionen zB

≠ $\neq$

2logn $2^{\log n}$

— vzn

Erstens ist

nur linear, also meine ich wohl

2logn $2^{\log n}$

2polylog(n) $2^{polylog(n)}$ , die als die Klasse bekannt ist

. Mir ist völlig klar, dass

nicht bedeutet, dass eine NP-vollständige Funktion zur exponentiellen Zeit ausgeführt wird, aber das ist nicht das, wonach ich frage. Zum Beispiel ist es unter der Annahme von

möglich, dass ein NPC-Problem in

gelöst werden kannQP $QP$

P≠NP $P\neq NP$

, wo

ist die inverse Ackermann-Funktion? Die Notationen sind nur ein Werkzeug, um meine Frage formell auszudrücken.2log(n)⋅log∗(n) $2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

log∗(n) $log^*(n)$

— RB

Danke für die Korrektur. in diesem gebiet ist afaik sehr wenig bekannt. versuche diese Frage NTime (n ^ k) =? DTime (n ^ k) tcs.se

— vzn

@RB Obwohl es in jeder "möglichen Welt" untere und obere Grenzen gibt, die ungefähr innerhalb eines Polynoms voneinander liegen, ist nicht klar, welche Grenzen a priori möglich sind.

— Yuval Filmus

Meine Interpretation der Frage ist, dass nach den Möglichkeiten in relativierten Welten gefragt wird . Angenommen, in einer relativierten Welt ist $P \neq NP$ . Können wir etwas Nicht-Triviales über die zeitliche Komplexität von NP-vollständigen Problemen ableiten? Das Baker-Gill-Solovay-Argument zeigt, dass wir ein NP-Problem dazu zwingen können, exponentielle Zeit zu benötigen, sodass die in der Frage angegebene Obergrenze im Wesentlichen optimal ist.

In Bezug auf die Untergrenze skizzieren wir unten einen Beweis, dass in Bezug auf ein Orakel . Unter der Annahme, dass der skizzierte Beweis korrekt ist, können wir ihn auch auf Funktionen anwenden, die kleiner als $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$ , und dies zeigt, dass die in der Frage angegebene Untergrenze ebenfalls im Wesentlichen eng ist.

Proof-Skizze. Wir konstruieren zwei Orakel : das erste verhält sich wie ein $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ vollständiges Problem und das zweite implementiert die Baker-Gill-Solovay-Diagonalisierung. Es ist einfach, beide Orakel zu einem einzigen Orakel zusammenzufassen.

Das Orakel besteht aus allen Paaren , so daß eine OracleTuringMaschine istdie akzeptiert in Laufzeit $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ wenn der Zugang zu den Orakelnauf Eingaben mit einer Länge von höchstens $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ . (Dies ist keine zirkuläre Definition.) $2^{\sqrt{\log |x|}}$

Das Orakel wird wie das Orakel in Baker-Gill-Solovay definiert: für jede getaktete Orakel-Turing-Maschine die in der Zeit läuft $O_2$ $M$ , finden wir eine Eingangslänge die ist "Unberührt", führen Sie auf für Schritte aus, und für jede Abfrage nach der Größe markieren wir, dass diese Eingabe nicht in (für andere Abfragen markieren wir auch, dass die Eingabe nicht vorhanden ist, es sei denn, wir hatte schon entschieden, dass es in $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ ). Anfragenan werden ähnlich behandelt (wie implizite Anfragen an kleinerer Größe, rekursiv behandelt); Beachten Sie, dass solche Abfragen niemals Zeichenfolgen der Länge in erwähnen, da $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ $n$ $O_2$ . Wenn die Maschine akzeptiert, markieren wir alle anderen Zeichenfolgen der Längeinals fehlend, andernfalls wählen wir eine Zeichenfolge der Längeund geben sie in. $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

Die Klasse besteht aus allen Programmen, die zur Zeit laufen $P^{O_1,O_2}$ , Anfragen ander Größe $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ . Die Klasseist von der Form, wobei $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ und damit in der Klasse aller Programme enthalten ist, die zur Zeit laufenund Orakelabfragen der Größe $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ . Letzteres ist in, da wir, um es zu entscheiden. Dies zeigt, dass. $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

Für die andere Richtung sei die Sprache, die aus für jedes so dass eine Folge der Länge . Durch Konstruktion von wird $L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ , während eindeutig ist. Dies zeigtdass $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ . $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— Yuval Filmus
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Ich muss zugeben, dass ich Ihre Antwort nicht vollständig verstanden habe, aber wenn, wie Sie erwähnt haben, ein NP-vollständiges Problem

nur in

lösbar ist , dann sind alle anderen NPC-Probleme auch nur in

lösbar

, da es eine Polyzeitreduktion von

, was bedeutet, dass Sie sonst einen besseren Algorithmus für

. Dies impliziert zum Beispiel

und

, nicht wahr? Was vermisse ich?Π $\Pi$

Ω(2nc) $\Omega(2^{n^c})$

Ω(2nΩ(1)) $\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π $\Pi$

QP≠NP $QP\neq NP$

ETH $ETH$

— RB

Nun, es impliziert nicht

, aber es sieht so aus, als würde es

implizieren . ETH $ETH$

QP≠NP $QP\neq NP$

— RB

Ihnen entgeht nichts. Es gibt eine relativierte Welt, in der die ETH wahr ist. Es gibt eine andere relativierte Welt, in der P = NP ist, und daher ist insbesondere ETH falsch.

— Yuval Filmus

Aber nicht in allen reletivierten Welten, in denen

$P\neq NP$

wahr ist, oder? Es besteht die Möglichkeit, dass

. Nach dem, was ich aus Ihrer Antwort verstanden habe, wenn

$QP\neq NP$

$P\subsetneq QP = NP$

gibt es ein NPC Problemderen untere Grenze ist exponentiell, und ich frage michwarum es wahr ist. $P\neq NP$

— RB

In meiner Antwort gebe ich (angeblich) eine relativierte Welt an, in der

. Eine andere relativierte Welt hat

. In noch anderen relativierten Welten,

. In Bezug auf

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$

$P=NP$

behaupte ich nichts darüber. $QP$

— Yuval Filmus

Laufzeitgrenzen für NP-Algorithmen schließen Probleme unter der Annahme von P ≠ NP ab

Ohne die Annahme von Q P ≠ N P , E T H oder einer anderen Annahme, die nicht durch P ≠ N P impliziert wird , können wir keine besseren Grenzen angebenQP≠NPQP\neq NPETHETHP≠NPP\neq NP L , U angeben?L,UL,U

Ohne die Annahme von , oder einer anderen Annahme, die nicht durch impliziert wird , können wir keine besseren Grenzen angeben $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ angeben? $L,U$