Haben die minimalen Spannbäume eines gewichteten Graphen die gleiche Anzahl von Kanten bei einer bestimmten Gewichtung?

Wenn ein gewichteter Graph zwei verschiedene minimale Spannbäume und , dann ist es wahr, dass für jede Kante in die Anzahl der Kanten in mit dem gleichen Gewicht wie (einschließlich selbst) entspricht der Anzahl der Kanten in mit demselben Gewicht wie ? Wenn die Aussage wahr ist, wie können wir sie dann beweisen?T 1 = ( V 1 , E 1 ) T 2 = ( V 2 , E 2 ) e E 1 E 1 e e E 2$G$$T_1 = (V_1, E_1)$$T_2 = (V_2, E_2)$$e$$E_1$$E_1$$e$$e$$E_2$$e$

Behauptung: Ja, diese Aussage ist wahr.

Beweisskizze: Sei $T_1,T_2$ zwei minimale Spannbäume mit kantengewichteten Multisätzen $W_1,W_2$ . Nehmen Sie $W_1 \neq W_2$ und bezeichnen Sie ihre symmetrische Differenz mit $W = W_1 \mathop{\Delta} W_2$ .

Wählen Sie die Kante $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ mit $w(e) = \min W$ , d. H. $e$ ist eine Kante, die nur in einem der Bäume auftritt und ein minimales nicht übereinstimmendes Gewicht hat. Eine solche Kante, die insbesondere $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ , existiert immer: klar, dass nicht alle Kanten des Gewichts $\min W$ in beiden Bäume sein kann, sonst $\min W \notin W$ . Wlog lasse $e \in T_1$ und nehme $T_1$hat mehr Gewichtskanten $\min W$ als $T_2$ .

Betrachten Sie nun alle Kanten in $T_2$ , die sich auch im Schnitt $C_{T_1}(e)$ , der durch $e$ in $T_1$ induziert wird . Wenn es eine Kante $e'$ dort die das gleiche Gewicht wie besitzt $e$ , update $T_1$ unter Verwendung von $e'$ anstelle von $e$ ; Es ist zu beachten, dass der neue Baum immer noch ein minimaler Spannbaum mit demselben Kantengewicht-Multiset wie $T_1$ . Wir wiederholen dieses Argument, indem wir $W$ um zwei Elemente verkleinern und dadurch eine Kante aus der Menge der Kandidaten für e entfernen$e$in jedem Schritt. Daher kommen wir nach endlich vielen Schritten zu einer Einstellung, bei der alle Kanten in $T_2 \cap C_{T_1}(e)$ (wobei $T_1$ die aktualisierte Version ist) andere Gewichte als $w(e)$ .

Jetzt können wir immer $e' \in C_{T_1}(e) \cap T_2$ so wählen , dass wir $e$ und $e'$ ¹ tauschen können, dh wir können einen neuen Spannbaum erzeugen

$\qquad \displaystyle T_3 = \begin{cases} (T_1 \setminus \{e\}) \cup \{e'\}, &w(e') \lt w(e) \\[.5em] (T_2 \setminus \{e'\}) \cup \{e\}, &w(e') \gt w(e) \end{cases}$

die ein geringeres Gewicht als $T_1$ und $T_2$ ; dies widerspricht der Wahl von $T_1,T_2$ als minimale Spannbäume. Daher ist $W_1 = W_2$ .

1. Die von $e$ einfallenden Knoten sind in $T_2$ durch einen Pfad $P$ ; $e'$ ist die eindeutige Kante in $P \cap C_{T_1}(e)$ .

Hier ist ein etwas einfacheres Argument, das auch für andere Matroiden gilt. (Ich habe diese Frage von einer anderen gesehen .)

Angenommen, hat m Kanten. Nehmen wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit an, dass die Gewichtsfunktion w Werte in [ m ] annimmt , so dass wir eine Aufteilung von E in Mengen E i : = w - 1 ( i ) für i ∈ [ m ] haben . Wir können die Anzahl j von nicht leeren E i und die Anzahl der Eckpunkte n in G induzieren ; für j = 1 und jedes $G$$m$$w$$[m]$$E$$E_i := w^{-1}(i)$$i\in [m]$$j$$E_i$$n$$G$$j=1$$n$ist die Aussage offensichtlich.

Eine Standardtatsache über Matroiden ist, dass es für jedes MST eine lineare Erweiterung der durch w induzierten Ordnung gibt, so dass der Greedy-Algorithmus T erzeugt .$T$$w$$T$

Um die Induktion zu schließen, nimm als die größte Zahl, damit E t nicht leer ist. Setze E ' = E 1 ∪ ⋯ ∪ E t - 1 . Man beachte, dass jede lineare Ausdehnung von w jede Kante in E ' vor jede Kante in E t setzt . Demnach besteht jede MST aus einem durch E ' induzierten Spannwald F des Teilgraphen und einigen Kanten von E t . Nach der induktiven Hypothese ist jede zusammenhängende Komponente von $t$$E_t$$E' = E_1 \cup \cdots \cup E_{t-1}$$w$$E'$$E_t$$F$$E'$$E_t$$F$ has the same number of edges from each $E_i$ for $i < t$. Since all the choices of $F$ have the same size, the number of edges from $E_t$ required to complete $F$ to a spanning tree is independent of the choice of $F$ and we are done.